高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 例判定向量组1=(1，-1,2)，02=(0,3,1)，3=(3,0,7)是否线 性相关？ 解设k1a1+k2a2+k3a3=0,则 k1+3k3=0, -k1+3k2=0, 2k1+k2+7k3=0 方程组有非零解，取k1=3,k2=1,k3=-1,有 31+2-a3=0, 所以a1,02,a3线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 例 判定向量组𝜶𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟐 ,𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟑, 𝟏 , 𝜶𝟑 = (𝟑, 𝟎, 𝟕)是否线 性相关？ 解 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑 = 𝟎，则 ቐ 𝒌𝟏 + 𝟑𝒌𝟑 = 𝟎, −𝒌𝟏 + 𝟑𝒌𝟐 = 𝟎, 𝟐𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟕𝒌𝟑 = 𝟎 方程组有非零解，取𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = 𝟏, 𝒌𝟑 = −𝟏，有 𝟑𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 − 𝜶𝟑 = 𝟎, 所以𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 。一般地，讨论m个n维(m≤n)向量 a11 Q12 aim a21 a22 02m 1 ,02= .,Cm ani 0n2 anm 是否线性相关。 设k1C1+k22+.+kmm=0,即 a11k1+a12k2+.+a1mkm=0, a21k1+a22k2+.+a2mkm=0, (1) anik1+an2k2 +anmkm =0. >(1)有非零解=a1,a2,.,am线性相关； >(1)只有零解台c1,2,.,am线性无关； >当m>n时，a1,2,.,m必线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 • 一般地，讨论𝒎个𝒏维(𝒎 ≤ 𝒏)向量 𝜶𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒎 = 𝒂𝟏𝒎 𝒂𝟐𝒎 ⋮ 𝒂𝒏𝒎 是否线性相关. 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯+ 𝒌𝒎𝜶𝒎 = 𝟎，即 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒎𝒌𝒎 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒎𝒌𝒎 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒎𝒌𝒎 = 𝟎. 𝟏 ➢ 𝟏 有非零解⟺ 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒎线性相关； ➢ 𝟏 只有零解⟺ 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒎线性无关； ➢ 当𝒎 > 𝒏时，𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒎必线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 含有零向量的向量组必线性相关 台线性无关的向量组中必不含有零向量. ·如果一个向量组中有一个部分组线性相关，那么这个向量组必线性相关 台线性无关向量组的任意一个非空的部分组仍然线性无关。 证明 为了方便，不妨设向量组a1,Q2,.,C,的前r个向量线性相关， 则存在不全为零的数k1,k2,.,k使得 k1a1+k2a2+.+krar=0, 则显然有 k1a1+k2a2+.+kn,+0ar+1+.+0a3=0, 其中k1,k2,.,k,0,.,0仍然不全为零，从而a1,a2,.,a线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 • 含有零向量的向量组必线性相关 ⟺线性无关的向量组中必不含有零向量. • 如果一个向量组中有一个部分组线性相关，那么这个向量组必线性相关. ⟺线性无关向量组的任意一个非空的部分组仍然线性无关. 证明 为了方便，不妨设向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔的前𝒓个向量线性相关， 则存在不全为零的数𝒌𝟏 ,𝒌𝟐 , ⋯, 𝒌𝒓使得 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒓𝜶𝒓 = 𝟎, 则显然有 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒓𝜶𝒓 + 𝟎𝜶𝒓+𝟏 + ⋯ + 𝟎𝜶𝒔 = 𝟎, 其中𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , ⋯ , 𝒌𝒓 , 𝟎, ⋯ , 𝟎仍然不全为零，从而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯, 𝜶𝒔线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 n个n维向量 a1=(a11,a21,.,an1),a2=(a12,a22,.,an2),.,n=(a1ma2m.,am) 线性无关的充分必要条件是 a11a1 2.a1n 021a22 a2n ≠0. (1) an1 an2 ann 证明设k1a1+k2a2+.+knan=0,则 a11k1+a12k2+.+a1nkn=0, a21k1+a22k2+.+a2nkn=0, (2) anik+an2k2++annkn 0. c1,a2,.,c线性无关的充分必要条件是方程组(2)只有零解，而方程组(2)只有零解的充分必 要条件是系数行列式不等于零，即(1)式成立
线性相关性 第三章 线性方程组 ◆ 𝒏个𝒏维向量 𝜶𝟏 = (𝒂𝟏𝟏,𝒂𝟐𝟏,⋯ , 𝒂𝒏𝟏),𝜶𝟐 = (𝒂𝟏𝟐,𝒂𝟐𝟐,⋯ , 𝒂𝒏𝟐),⋯ ,𝜶𝒏 = (𝒂𝟏𝒏, 𝒂𝟐𝒏,⋯ , 𝒂𝒏𝒏) 线性无关的充分必要条件是 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 ⋮ 𝒂𝒏𝒏 ≠ 𝟎. (𝟏) 证明 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒏𝜶𝒏 = 𝟎，则 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒌𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒌𝒏 = 𝟎, ⋯⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒌𝒏 = 𝟎. (𝟐) 𝜶𝟏 ,𝜶𝟐 ,⋯ ,𝜶𝒏线性无关的充分必要条件是方程组(2)只有零解，而方程组(2)只有零解的充分必 要条件是系数行列式不等于零，即(1)式成立