归东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 第五章二次型 5.1二次型及其矩阵表示
第五章 二次型 5.1 二次型及其矩阵表示
山东程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的 般方程化为标准方程. 坐标旋转 ax2 +2bxy cy2=f a'x2+b'y2=f x=x'cos0-y'sine ly=x'sin@+y'cos0
二次型的问题起源于将二次曲线或二次曲面的一 般方程化为标准方程. 𝑥 𝑦 𝑜 ቊ 𝑥 = 𝑥 ′ cos 𝜃 − 𝑦’ sin 𝜃 𝑦 = 𝑥 ′ sin 𝜃 + 𝑦 ′ cos 𝜃 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑜 𝑎 ′𝑥 ′2 + 𝑏 ′𝑦 ′2 = 𝑓 坐标旋转 𝑥 𝑦 𝜃
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义设P是一个数域，系数在数域P上的关于变量 X1,X2,.,Xn的二次齐次多项式 f(x1x2,.,xn)=a11x2+2a12X1x2+.+2a1nX1Xn +a222x3+2a23x2x3+.+2a2anx2xn +.+annx7 称为数域P上的元二次型，简称为二次型
定义 设𝑃是一个数域，系数在数域𝑃上的关于变量 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛的二次齐次多项式 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎22𝑥2 2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + ⋯ + 2𝑎2𝑎𝑛𝑥2𝑥𝑛 +⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 称为数域𝑃上的𝑛元二次型，简称为二次型
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1x子+x1x2+3x1x3+2x2+4x2x3+x3是有理数域 上的一个3元二次型。 。只含有平方项的二次型称为标准形
例1 𝑥1 2 + 𝑥1𝑥2 + 3𝑥1𝑥3 + 2𝑥2 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2是有理数域 上的一个3元二次型。 • 只含有平方项的二次型称为标准形
山求濯工大深 >象数为什么要写成2倍的？ 令a1=aji,(i<j),由于xxj=xx,所以二次型可以写成 f(x1,X2,.,xn)=a11x+a12x1X2+.+a1nX1xn +az1X2x1+a22x++azanx2xn 十. +an1Xnx1+an2Xnx2++annxi =∑∑防x i=1j=1
➢系数为什么要写成2倍的？ 令𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖， 𝑖 < 𝑗 ，由于𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑥𝑗𝑥𝑖，所以二次型可以写成 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛)=𝑎11𝑥1 2 + 𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 +𝑎21𝑥2𝑥1 + 𝑎22𝑥2 2 + ⋯ + 𝑎2𝑎𝑛𝑥2𝑥𝑛 + ⋯ +𝑎𝑛1𝑥𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥𝑛𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗