高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 三维几何空间： ·,可以表示空间中任何一个向量， a=xi+yj+zk 将空间中的向量与代数中的点(x,y,z)建立一一对应关系 ·,线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 三维几何空间： • 𝒊, 𝒋, 𝒌可以表示空间中任何一个向量， 𝜶 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 将空间中的向量与代数中的点(𝒙, 𝒚, 𝒛)建立一一对应关系 • 𝒊, 𝒋, 𝒌线性无关
线性相关性 第三章线性方程组 定义若向量组a1,Q2,.,a的一个部分组a22.,Q,满足： (1)22,a,线性无关； (2)1,2,.,0a,中每一个向量都可以由部分组a242.,线性表示， 则称此部分组α12，a12.,a,是原向量组的一个极大线性无关组. ·线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. 如果1212，a,线性相关的话，不妨设，可以由a12,2,-1线性表示， 那么1,2，.，就可以由更少的向量C2C2.,-1线性表示
线性相关性 第三章 线性方程组 定义 若向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔的一个部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓满足： （1）𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓线性无关； （2）𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示， 则称此部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓是原向量组的一个极大线性无关组. • 线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. 如果𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性相关的话，不妨设𝜶𝒊𝒓可以由𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓−𝟏线性表示， 那么𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔就可以由更少的向量𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓−𝟏线性表示
线性相关性 第三章线性方程组 定义 若向量组a41,2,.,a的-个部分组a1212.,0,满足： (1)12,2.,a,线性无关； (2)Q1,2,.,中每一个向量都可以由部分组Q2,2.,线性表示， 则称此部分组a122.,4,是原向量组的一个极大线性无关组. ·线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. ”(2)'从1,2，.，a3的其余向量中（如果还有的话）再添加一个向量，所得部分 组a2a2.,线性相关.(2)'台(2) “=”如果a2a2.,a,a线性相关，而a2,2.,线性无关，所以g 一定可以由a2,a2.,线性表示，由j的任意性可证
线性相关性 第三章 线性方程组 定义 若向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔的一个部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓满足： （1）𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓线性无关； （2）𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示， 则称此部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓是原向量组的一个极大线性无关组. • 线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. • (𝟐) ′从𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔的其余向量中(如果还有的话)再添加一个向量，所得部分 组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓 , 𝜶𝒋线性相关. (𝟐) ′⟺ (𝟐) “⟸”如果𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓 , 𝜶𝒋线性相关，而𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性无关，所以𝜶𝒋 一定可以由𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示，由𝒋的任意性可证
线性相关性 第三章线性方程组 ·一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身. 例求α1=(1,0,0)，2=(0,1,0)，a3=(1,2,0)的一个极大线性无关组. 解 1,02线性无关，3=a1+2a2,a1a2是一个极大线性无关组； 同理，C1,3和a2,a3也是向量组的极大线性无关组. ·一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的 ·一个向量组和它的任意一个极大线性无关组等价。 ·同一个向量组的两个极大线性无关组等价：
线性相关性 第三章 线性方程组 • 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身. 例 求𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 ,𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟏, 𝟎 ,𝜶𝟑 = (𝟏, 𝟐, 𝟎)的一个极大线性无关组. 解 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐线性无关，𝜶𝟑 = 𝜶𝟏 + 𝟐𝜶𝟐，𝜶𝟏 , 𝜶𝟐是一个极大线性无关组； 同理，𝜶𝟏 ,𝜶𝟑和𝜶𝟐 , 𝜶𝟑也是向量组的极大线性无关组. • 一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的. • 一个向量组和它的任意一个极大线性无关组等价. • 同一个向量组的两个极大线性无关组等价