绝对收敛与条件收敛 1.绝对收敛和条件收敛 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数 问题:如何研究任意项级数的敛散性问题?
二、绝对收敛与条件收敛 任意项级数 正项级数 任意项级数的各项取绝对值 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？ 1. 绝对收敛和条件收敛:
任意项级数的敛散性 1.∑un绝对收敛∑n收敛 2.∑u条件收敛∑n发散∑u,收敛; = 3∑u发散
绝对收敛： =1 1. n un 收敛； n=1 un 条件收敛： =1 2. n un 发散， 收敛； = =1 n 1 n n un u 3. . 1 发散 n= un 任意项级数的敛散性
定理2若∑n收敛则∑un收敛 n=1 n=1 证明令=(un+n)(n=12,) 2 显然vn≥0,且vn≤an ∑vn收敛, = 又∵∑un=∑(2 ∑un收敛 n=1
定理 2 若 n=1 un 收敛,则 n=1 un 收敛. 证明 ( ) ( 1,2, ), 2 1 令 vn = un + un n = 0, n 显然 v , n un 且 v , 1 收敛 = n n v (2 ), 1 1 = = = − n n n n 又 un v u = n 1 un收敛
上定理的作用 任意项级数 正项级数 定义:若∑n收敛,则称∑4n为绝对收敛 nE 若∑un发散而∑Mn收敛,则称∑un为条件收敛
上定理的作用： 任意项级数 正项级数 定义:若 n=1 un 收敛, 则称 n=1 un为绝对收敛; 若 n=1 un 发散,而 n=1 un 收敛, 则称 n=1 un 为条件收敛
SInn 例5判别级数∑ 的收敛性 2 n=1 n SInn 解 2152,而∑收敛 ∑ sIn 收敛 故由定理知原级数收敛
例 5 判别级数 =1 2 sin n n n的收敛性. 解 , sin 1 2 2 n n n , 1 1 而 2 收敛 n= n , sin 1 2 = n n n 收敛 故由定理知原级数收敛