第 10.1反常积分概 10.2元穷积分的收数性 判别
第十章反常积分 10.1 反常积分概念 10.2 无穷积分的收敛性质与判别 10.3 瑕积分的性质与收敛判别
10.1反常积分概念 引例 、无穷限的广义积分 积分
10.1 反常积分概念 一 、 引例 二、无穷限的广义积分 三、无界函数的广义积分
引入 例:求曲线y=2,x轴及直线x=1,右边所围成的“开口 曲边梯形”的面积 解:由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 y 向是开口的,即这是的积 分区间为[1,∞), 0 b x 故vb>1则A的面积为1=[-=1 显然当b改变时,曲边梯形的面积也随之改变, 故b→+时,即m∫1x=m(1-)=1 则所求曲边梯形的面积为1
一 . 引入 例： 曲边梯形”的面积。 求曲线 , 轴及直线 1，右边所围成的“开口 1 2 = x x = x y 0 x y 1 b 2 x 1 y = 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为[1，∞）， x b dx x b A b b 1 ] 1 1 [ 1 1, 1 2 = − 1 = − 故 则 的面积为 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， ) 1 1 lim (1 1 lim 1 2 → + = − = →+ →+ b dx x b b b b 故 时，即 则所求曲边梯形的面积为1
二、无 广义积分 定义1:设函数f(x)在区间a,+∞)上连续,取b>a 如果板限mf(x)存在, b->+∞a 则称此极限为 记作「f(x)x,即 f(x)dx= lim I f(x)dx b->+
二、无穷限的广义积分. 定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 取b > a, 如果极限 →+ b b a lim f (x)dx 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上 的广义积分, 记作 ( ) ,即 + a f x dx →+ + = b a b a f (x)dx lim f (x)dx (1)
这时也称广义积分f(x)kx 若上述极 不存在,就称广义积分 f(x)dx ,这时记 f(x)不再表示数值了 例如:1/=d=1m1 +∞ b-→+∞001+x lim arctan x b->+∞0 1+x lim arctan b b->+∞0 2
这时也称广义积分 收敛; 若上述极 限不存在, 就称广义积分 发散, 这时记 号 不再表示数值了。 + a f (x)dx + a f (x)dx + a f (x)dx 例如： + = + →+ + b b dx x dx x 0 2 0 2 1 1 lim 1 1 b b x 0 lim arctan →+ = b b lim arctan →+ = 2 = o y b x 2 1 1 x y + = 1