10.2无穷和分的收数性质与判别 无穷积分的性质 无穷积分收敛的判别法
10. 2 无穷积分的收敛性质与判别 一 . 无穷积分的性质 二. 无穷积分收敛的判别法
性质1 若[f(x)与f(x)bx都收敛,k1,k2为任意常数,则 [k1f1(x)+k2,f2(x)x也收敛,且 Tk f(x)+k,f2(x)]dx=k,l f(x)dx+kal f2(x)dx 性质2 若任何有限区间a,n上可积,a<b 则f(x)与f(x)bx同敛散,且 r f(x)dx=5/()dx+5f(xxx
一 . 无穷积分的性质 性质１ 若 f x dx与 f x dx都收敛，k k 为任意常数， 则 a a 1 2 1 2 ( ) ( ) , + + k f x k f x dx也收敛， 且 a [ ( ) ( )] 1 1 + 2 2 + + + + + = + a a a [k f (x) k f (x)]dx k f (x)dx k f (x)dx. 1 1 2 2 1 1 2 2 性质２ 若f在任何有限区间[a,u]上可积，a b 则 f x dx与 f x dx同敛散， 且 a b + + ( ) ( ) f (x)dx f (x)dx f (x)dx. b b a a + + = +
性质3 若在任何有限区间an上可积,且(x)收敛 则f(x)收敛,且 f(x)dxs.f(x)dx 当厂(x收敛时,称厂f(x)为绝对收敛 性质3说明绝对收敛的级数自身一定收敛.但自身收敛的级数 不一定绝对收敛 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛
性质３ f a u ， f x dx ， a 若 在任何有限区间 上可积 且 收敛 + [ , ] ( ) 则 f x dx必收敛， 且 a + ( ) f (x)dx f (x)dx. a a + + 注 当 ( ) 收敛时 称 ( ) 为绝对收敛. + + a a f x dx ， f x dx 性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
1,柯西准则 无穷积分[f(x)收敛的充要条件是 =0C2只要>G便有[3 2,比较原则 设定义在a,+∞)上的两个函数和g都在任何有限区间上可积 且满足(x)≤g(x),x∈[a+∞)
二. 无穷积分收敛的判别法 ２，比较原则 无穷积分 ( ) 收敛的充要条件是: + a f x dx 0,G a,只要u1 ,u2 G,便有 ( ) . 2 1 u u f x dx １，柯西准则 设定义在[a,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积， 且满足 f (x) g(x), x[a,+)
2比较原则 设定义在a+)上的两个函数都在任何有限区间上可积 且满足(x)≤g(x)x∈[a+∞)则 若厂g(x)敛,则(x)收敛 若厂(x发散,则厂8(x)b发散 推论 设和都在任何有限区间a上可积g(x)>0.且mn(x) x*+oo g(x ()当0<c<+时,1(x)与,g(x)同敛散 ()当c=0时,若「g(x)收敛,则1(x)收敛 (i)当c=+时,若[g(x)发散,则f(x)发散
２，比较原则 设定义在[a,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积， 且满足 f (x) g(x), x[a,+) 则 若 g(x)dx收敛， 则 f (x)dx收敛; a a + + 若 ( ) 发散 则 ( ) 发散. + + a a f x dx ， g x dx 推论 + + + a a (i) 当0 c 时， f (x)dx与 g(x)dx同敛散; 设f和g都在任何有限区间[a,u]上可积，g (x) 0,且 c g x f x x = →+ ( ) ( ) lim (ii) 当c 0时， 若 g(x)dx收敛， 则 f (x)dx收敛; a a + + = (iii) 当c 时， 若 g(x)dx发散， 则 f (x)dx发散. a a + + = +