前面介绍了一般的函数项级数,重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质从今天开始, 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数,一类是“幂级数”(代数多项式 的推广);另一类是“ Fourier级数” 角多项式的推广,三角级数的特例,在物理 中有广的应用)
引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点 是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以 及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始， 我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函 数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式 的推广）；另一类是“Fourier级数”（三 角多项式的推广，三角级数的特例，在物理 中有广的应用）
11.4幂级数 幂级数及其收敛性 幂级数的性质 幂级数的运算
11.4 幂级数 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的性质 三 幂级数的运算
、幂级数及其收敛性 1.定义 函数项级数 ∑un(x)= 1x)+,x+…+Ln(x)+ 幂级数 幂级数系数 .(x-x +a1(x-x0)+…+an(x-x0)“+ 0时,∑ ax=a tax n=0
一、幂级数及其收敛性 1.定义 函数项级数 ( ) = ( )+ ( )++ ( )+ = u x u x u x un x n n 1 2 1 幂级数 − = + − ++ − + = n n n n n a (x x ) a a (x x ) a (x x ) 0 1 0 0 0 0 幂级数系数 0 0 1 0 0 n n n n n x a x a a x a x = 注：当 = = + + + + 时，
2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x∈I,数项级数∑u1(x)收敛 : 则称x为级数∑n1(x)的收敛点,否则称为发散点 H=1 函数项级数∑1(x)的所有收鲛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域
2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域
例如级数∑x=1+x+x2+ 当x<时,收敛;当x≥时,发散 收敛域(-11);发散域(-∞,-11,+0); 上的那些 点使
1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？