第十一章习题课 主要内容 典型例题
第十一章习题课 一、主要内容 二、典型例题
函数项级数主要内容 (1)定义 设u1(x),u2(x),…,un(x),…是定义在IcR上的 函数,则∑u1(x)=41(x)+2(x)+…+B1(x)+ H-=1 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 (2)收敛点与收敛域 如果x∈I,数项级数∑un(x0)收敛, n=1
一、函数项级数主要内容 (1) 定义 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. (2) 收敛点与收敛域 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n un x 收敛
o 则称x为级数∑u(x)的收敛点否则称为发散点 函数项级数∑a1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域 (3)和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称s(x)为函数项级数的和函数
则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点,否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域, (3) 和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数
函数项级数的一致收敛性 定义设有函数项级数∑u(x).如果对于任意 给定的正数E,都存在着一个只依赖于E的自 然数N,使得当n>N时,对区间I上的一切 x,都有不等式 r(x=s(x)-s,(x)<e 成立,则成函数项级数∑un(x)在区间I上一致 收敛于和s(x),也称函数序列sn(x)在区间I上 致收敛于s(x)
函数项级数的一致收敛性 设有函数项级数 =1 ( ) n un x ．如果对于任意 给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的 自 然 数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式 r (x) = s(x) − s (x) n n 成立，则成函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 I上一致 收敛于和s(x)，也称函数序列s (x) n 在区间 I 上 一致收敛于s(x)． 定义
致收敛性简便的判别法: 定理(魏尔斯特拉斯( Weierstrass)判别法) 如果函数项级数∑un(x)在区间上满足条件: (1)un(x)≤an(n=1,2,3…) (2)正项级数∑an收敛 H=1 则函数项级数∑un、(x)在区间上一致收敛
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法） 如果函数项级数 =1 ( ) n u n x 在区间I 上满足条件: (1) u (x) a (n = 1,2,3) n n ; (2) 正项级数 n=1 n a 收 敛, 则函数项级数 =1 ( ) n u n x 在区间I 上一致收敛. 一致收敛性简便的判别法：