12.2以2L 偶函数与奇函数的傅立叶级数
12.2 以2L为周期的傅氏级数 一、以2L为周期的傅立叶级数 二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式 以2L为周期的傅氏级数 设∫是以2l为周期的函数,通过变量置换 lt 或 可以把∫变换成以2m为周期的t的函数F()=(z
一、以2L为周期的傅氏级数 本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶 级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级 数展开式． 设 f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换 lt t x l x = 或 = 可以把 f 变换成以 2π为周期的 t 的函数 F(t)= lt
若f在[上可积,则F在[,m]上也 可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是: F(t) 2 +∑( a cos nt+bsmm)(1) 其中1F( s ntat n=0 丌. F(tsin ndt, n=0, 1, 2 因为/,所以F()=) =f(x)
若 f 在 −l l, 上可积，则 F 在[-π，π]上也 可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： ( cos sin ) 2 ( ) ~ 1 0 = + + n an nt b n nt a F t (1) 其中 − = = ( ) cos , 0,1,2, 1 a n F t ntdt n − = = ( )sin , 0,1,2, 1 b n F t ntdt n 因为 lx t = ，所以 ( ) f ( x ) lt F t f = = . (2)
于是由(1)与(2)式分别得 nTO f()F(0)o+2(a, cos+b,sin) (3) nZ X)COS ax,n=0.1.2 (4) n7 bn= f(x)sin dx,n=0,1,2 这里(4)式是以2为周期的函数f的傅里叶系数, (3)式是f的傅里叶级数
于是由(1)与(2)式分别得 ( ) ( cos sin ) 2 ~ ( ) ~ 1 0 = + + n n n l n x b l n x a a f x F t (3) − = = l l n dx n l n x a f (x) cos , 0,1,2, − = = l l n dx n l n x b f (x)sin , 0,1,2, (4) 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数
若函数/在[1上按段光滑,则同样可 由收敛定理知道 f(x+0)+f(x-0)=2+200+x+bm、m 2 2 定理设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 f(r) ∑ nzm nzAc ×c (a, cos+b, sin)
若函 数 f 在−l l, 上按段光滑， 则同样可 由收敛定理知道 cos sin . (5) 2 2 ( 0) ( 0) 1 0 = = + + + + − n n n l n x b l n x a f x f x a 定理的条件则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 定理 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n = = + +