1.2一致收或函数列与 致收敛函数列的性质 函数项级数的性质
1.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质 一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
致收敛函数列 1函数及限与序列极限交换定理 O)>() lim(x) o iman=limf(x)(存在) n→ x→>x0 (Elim lim f(x)=lim lim f(x) n->∞0x>x0 x-Xo n 讨论单侧极限是,只要把以上定理中的 x∈U(x0)与x→>x0分别改为U°(x0) (或U°(x0)与x→>x(或x→>x。)即可
一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理 ( ) ( ) ( ) 0 lim n n n x x f x f x f x a → → → = ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim ( lim lim lim lim ) n n x x n n x x x x n n a f x f x f x → → → → → → = = 存在 即 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) . x U x x x U x U x x x x x + + − − → → → 讨论单侧极限是 只要把以上定理中的 与 分别改为 或 与 或 即可
2.连续性定理 设在D上fn二f(x),且对n,函数f(x) 在D上连续,→f(x)在D上连 证(要证:对Vx0∈D,f(x)在点x0 连续.即证:对VE>0,3δ>0,当 x-x0k6时,→|f(x)-f(x0)kE.)
2.连续性定理 设在D上 n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ f (x) ,且对 n ,函数 f (x) n 在 D 上连续 , f (x) 在D 上连续. 证 ( 要证 : 对x0 D , f (x) 在点 0 x 连续 .即证: 对 0, 0 , 当 | x − x0 | 时, | ( ) − ( ) | 0 f x f x . )
f(x)-八(x)s(x)-f(x)+(x)-f(x)+(x)=(x) 估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项 可以任意小;而由函数fn(x)在点x0连续 第二项|fn(x)-fn(x0)也可以任意小 ●0● 系设在D上fn(x)→>f(x).若f(x)在D 上间断,则函数列{f(x)在D上一致收敛和 所有fn(x)在D上连续不能同时成立
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x f x n n n n − − + − + − 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 可以任意小; 而由函数 f (x) n 在点 0 x 连续, 第二项| ( ) ( ) | 0 f x f x n − n 也可以任意小 . …… 系 设 在D上 f (x) n → f (x) . 若 f (x) 在D 上间断 ，则函数列{ f (x) n }在 D上一致收敛和 所有 f (x) n 在 D上连续不能同时成立
註定理表明:对于各项都连续且一致收敛 的函数列{fn(x)},有 lim lim f (x)=lim lim f(x) x→>x0n->00 H->0x->x0 即极限次序可换 3.可积性定理 若在区间[a,b1上函数列{f(x)}一致收 敛,且每个(x)在[b上连续,则有 b b lim fm(x)dx=lim f,(x)dx n→)0a
註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 的函数列{ f (x) n }, 有 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n n x x n x→x n→ → → = 即极限次序可换 . 3. 可积性定理 若在区间[ a , b ] 上函数列{ f (x) n }一致收 敛 , 且每个 f (x) n 在[ a , b ]上连续. 则有 (lim ( ) lim ( ) . ) b b n n a a n n f x dx f x dx → → =