7.6定积分的计算 换元公式 二、分部积分公式 三、泰勒公式的积分型余项 四、小结
一、换元公式 四、小结 三、泰勒公式的积分型余项 二、分部积分公式 7.6 定积分的计算
换元公式 定理假设 (1)f(x)在,b上连续; (2)函数x=q()在a,B上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间a,B上变化时,x=(1)的值 在[a,b上变化,且φ(a)=a、q(B)=b, 则有(x)k=J1(Olp()t
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式
证设F(x)是f(x)的一个原函数, If(ydx= F(b)-F(a), ①(t)=Fp(t)l dF dx ①()= f(xo(t)= flo(t)lo(t) dx dt ①()是fq(t)(t)的一个原函数 fq()lp(t=①(B)-①(a)
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
(a)=a、(B)=b, ①(B)-①(a)=Flp(6)-Flp(a) F(b-F(a), C/f(xxx= F()-F(a)=d(B)-(a) flo(tlo(t)dt. 注意当a>B时,换元公式仍成立
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
例1计算|2 cos'xsin xdx 解令t=cosx,d=- -sindy, →t=0.x=0→t=1 2 cos sIn dx rtat t6 66
例1 计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 0 5 cos x sin xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx