11.5函数的幂级数展开 泰勒级数 、函数展开成幂级数
11.5 函数的幂级数展开 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
、泰勒级数 上节例题∑(-1=1m(+x)(1<x≤1 n存在幂级数在其收敛 f(x)=2an(x-x0)域内以/)为和函数 问题:1.:如果能展开,是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U(x0)内具有任意阶导 数,且在U(x0)内能展开成(x-x0)的幂级数 即f(x)=∑an(x-x0) n=0 则其系数an=n f(x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 证明∑a1(x-x0)“在n(x0内收敛于f(x)即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)+
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+man(x-x0) fn(x)=n!an+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+ 令x=x 09 甲得 (x)(=0,1,2,)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,f(x的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑ fm(x-x)称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ x"称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 n 问题f(x)?2(x-x) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定