123收敛定理的证明 Din定理设以2x为周期的函数在区间 丌,z]上按段光滑,则在每一点x∈[-x,丌], J的 Fourier级数收敛于f在点x的左、右 极限的算术平均值,即 f(x+0)+f(x-0)a, ta cosnx+b, sin nx 其中“x和为的 Fourier系数
12.3 收敛定理的证明 Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 , 的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右 极限的算术平均值, 即 其中 和 为 的 Fourier 系数
+>.a cosnx +b, sin nx 证明思路:设/)~2x 对每个x∈[-丌,丌],我们要证明 f(x+0)+f(x-0) mn((x+0+(x=0 即证明 N→0 方法是把该极限表达式化为积分,利用 R—L定理证明相应积分的极限为零
证明思路: 设 ～ 对每个 , 我们要证明 . . 即证明 . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零
1写出=2+2 a cos+br sin ex 的简缩形式 2x+1 Sin S(x)= [ f(x+t) 2 Sin 2 称这一简缩形式为(x的积分形式,或称为 Dirichlet积分, f(x+0)+f(x-0 2利用该表示式,式 (x)可化为 f(x+0)+f(x-0 2n2+1 f(x+0)+(x-0 sin f(x+t 2 2 2
1 写出 的简缩形式. 称这一简缩形式为 的积分形式 , 或称为 Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式 可化为
2n+1 sin f(x+0) f(x+) 2 sin 2 2 2n+1 Sin f(x+) 2 sin + 2 于是把问题归结为证明 2+1 limf(x+0) f(x+) 2 2n+1 sin imn X f(x+2) 丌 sin =
+ , 于是把问题归结为证明 ,
这两式的证明是相同的,只证第一式 3为证上述第一式,先利用三角公式 2n+1 sin +cosφ+cos2q+…+cosn 2sin 建立所谓 Dirichlet积分 22+1 sIr1 2 dt=1 sin f(x+0 2 f(x+0) 利用该式把2表示为积分,即把2表示 为 Dirichlet积分
这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 利用该式把 表示为积分,即把 表示 为 Dirichlet 积分