9.3 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收斂 三、阿贝余判别法和秋皇克香列
9.3 一般项级数 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
、交错级数及其审敛法 定义:正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1),或∑(-1)n(其中un>0 nE 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i)un≥un+1(n=1,2,3,…);(i) lim u=0, n→0 则级数收敛,且其和s≤u1,其余项n的绝对值 ≤L
一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n u u = = − − − 1 1 1 ( 1) 或 ( 1) 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u , 则级数收敛,且其和 u1 s ,其余项n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un
证明: n-1-ln2≥0 2=(u1-2)+(u3-4)+…+(u2n 数列s2是单调增加的, 又s2n=B1-(u2-u3)-…-(u2 2n-2 2n-1 2n ≤1数列s2,是有界的, ∴lims2n=S≤u1,:limu2n+1=0, n→0
证明 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = − ( − ) −− ( − − − ) − ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n s = − + − ++ − − u1 0, un−1 − un lim . 2 u1 s s n n = → lim 0, 2 +1 = → n n u , 数列 s2n是单调增加的 , 数列 s2n是有界的
ims2n+1=lm(52n+2+)=s n→0 n→0 级数收敛于和s,且s≤u1 余项rn=±(un1-un2+…)2 LL,+ 2 满足收敛的两个条件,≤ n+1 定理证毕
lim lim( ) 2 1 2 2 +1 → + → = n + n n n n s s u = s, , . u1 级数收敛于和s 且s ( ), 余项rn = un+1 − un+2 + , rn = un+1 − un+2 + 满足收敛的两个条件, . n un+1 r 定理证毕
例1判别交错级数1-1+1-1+ 234 的敛散性 11 解 n+1(n=1,2,…) nn+1 又mu =0 n→00 故级数收敛
解 ( 1，2，） 1 1 1 = 1 = + = u + n n n un n lim = 0 → n n 又 u 故级数收敛. . 4 1 3 1 2 1 1 1 的敛散性 例 判别交错级数 − + − +