)数学分析 §8.3平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念 、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 河西学院数学系分析数学教研室
一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 §8.3平面曲线的弧长 三、参数方程情形 四、极坐标情形
83求平面曲线的弧长 、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两 个端点,在弧上插入分点 M B=M A=M.M 19 M MM B A=M 19 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长∑|M1M1的极限存在,则称此极限为 曲线弧AB的弧长
o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念 8.3 求平面曲线的弧长
、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x) (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为x,在a,b dy 上任取小区间[x,x+dxl, xx+dx b 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长√(dx)2+(d小y)2=1+y2 弧长元素=1+y2弧长s=1+yb
设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ ds y dx 2 = 1+ 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形 弧长元素 弧长
例1计算曲线y=2x上相应于x从到b的一段 3 弧的长度 解y=x ∴ds=1+(x2)2ax=√1+xx, 所求弧长为 =1+xk=2(+b)-(+ 3
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x从a到b的一段 弧的长度. , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b 所求弧长为 解
例2计算曲线y=“ nisin od的弧长(0≤x≤m) y=n sin sIn n n n +y d x 1+sindh x=nt fT +sint·ndt 0 2 =n SIn +I cOS 2 2/+2sin cost 22 nI sin-+cos- ldt =4n 0 2 2
例 2 计算曲线y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n