)数学分析 §1体积求法 、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 、小结 体积 河西学院数学系分析数学教研室
一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的 体积 §1体积求法 三、小结
旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
旋转体: 由连续曲线yf(x)、直 线x=a、a=b及x轴所围成 的曲边梯形绕x轴旋转一周 f(x) 而成的立体 讨论 O 旋转体的体积怎样求? 答案: V=(x)bx=zU(x)t
O a b x y 旋转体： 由连续曲线 y =f (x )、直 线 x = a 、 a =b 及 x 轴所围成 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。 y =f (x ) 讨论： 旋转体的体积怎样求？ V = ba [f(x)] 2 dx = ba [f(x)] 2 dx 。 答案：
般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x) 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为℃, y=∫(x) x∈[a2b 在[a2b上任取小区 xh d b 间x,x+dxl, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,dV=mf(x)1dc 旋转体的体积为y=∫观/(x)
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
曲线(x)绕x轴旋转而成的立体体积:=z(x)k a 2 例1求椭圆x+y y b 2 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 O 解:椭圆绕x轴旋转产生 的旋转体的体积: Vx=2 ydx=2T(a-x )dx b cb十 0 4 =2兀-2 x zab 2 3103
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： V = b a [f(x)]2 dx。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生 的旋转体的体积： Vx =2 a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2 − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2 ( − 2 3 4 = ab 。 x y O a b 2 2 a x a b y = − 下页 例 1 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 Vx =2 a 0 y 2 dx =2 a x dx a a b ( ) 2 0 2 2 2 − x a a x a b 0 3 2 2 2 ) 3 = 2 ( − 2 3 4 = ab