§8.5定积分在物理上的应用
§8.5 定积分在物理上的应用
、变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为 W=F. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就不能直接使用此公式,而采用“元 法”思想
由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为 W = F s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“元素 法”思想. 一、变力沿直线所作的功
例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力由 物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 F=k2(k是常数),当这个单位正电荷在电场中从 F=a处沿r轴移动到r=b处时,计算电场力F对 它所作的功
例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由 物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对 它所作的功．
解取r为积分变量, q +dr r∈[a2bl 取任一小区间r,r+ml,功元素 dw ka dr, b b 所求功为w==kq a b 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 +0K0 idr= ke
解 取r 为积分变量， o r • + q a b • •• • • • • + 1 r r [a,b], r + dr 取任一小区间[r,r + dr], , 2 dr r kq dw = dr r kq w b a = 2 b a r kq = − 1 . 1 1 = − a b kq dr r kq w a + = 2 + = − a r kq 1 . a kq = 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 所求功为 功元素
例2:一圆柱形蓄水池高为5米,底半径3米, 池内盛满了水问要把池内的水全部吸出, 需作多少功? 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈|0,5 取任一小区间x,x+dxl, x+dx
例 2 : 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径 3 米， 池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出， 需作多少功？ x o x x + dx 取x为积分变量， x[0,5] 5 取任一小区间[x, x + dx], 解 建立坐标系如图