8.4旋 积
8.4 旋转曲面的面积
定积分的元 通过对不均匀量(如曲边梯形的面积,变速直线 运动的路程)的分析,采用“分訓、近似代替、求和 取极限”四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象 出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不 均勺几何量和物理量的有效工具。那么,完竟哪些量 可以通过定积分来求值呢?
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？ 一 定积分的元素法(或微元法)
为了说明微元法,我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 微step1.分割:任意划分[ab]为n个小区间 元法 1x21,x1(=1~m),则A=∑△4 近似:V5∈x=x 计算△A≈f()△x1 o a ti-1 i
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间 = − = = n i i i n A Ai x x i 1 1 [ , ] ( 1 ~ ),则 step2. 近似： [ , ], i xi−1 xi ( ) i i xi 计算 f (i = 1~n) 微 元 法
s3求和:A≈∑f(5)△x i=1 stp4.取极限:A=m∑/(5A即A=「/(x)k 微分析:在上述间题注意到:所求量即面积A满足 元 法1与区间a,b及1a,b上连续函数(x)关 2对a具有可加性,即A=∑△4 3局部量△A1≈f(5)△4,且误差为o(△x 实际上,引出A的积分表达式的关键步骤是第 步,因此求解可简化如下:
step3. 求和： = n i i xi A f 1 ( ) step4. 取极限： = → = n i i xi A f 1 0 lim ( ) = b a 即 A f (x)dx 分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足： 1 。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关; 2 。对[a,b]具有可加性， ; 1 i n i A A = 即 = 3 。 ( ) , ( ) i i Ai o xi 局部量 A f 且误差为 实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下： 微 元 法
stepl:选取积分变量及积分 区间(如x属于[ab]) tep2取微区间xx+dxl 微求出△A≈f(x)ke(局部量) 法并记dA=f(x)称为面积元素 o a xx+dx 计算A=f(x)b 这种方法称为定积分的 或
step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于[a,b]） step2:取微区间[x,x+dx] 求出 A f (x)dx (局部量) 并记dA = f (x)dx 称为面积元素 step3: = b a 计算 A f (x)dx 这种方法称为定积分的元素法或微元法。 微 元 法