9.2 正项级数
正项级数及其审敛法 1.定义:如果级数∑中各项均有n≥0 这种级数称为正项级数 2.正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…SSnS 部分和数列{s为单调增加数列 定理 正项级数收敛分部分和所成的数列,有界
一 正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有 界. n s 部分和数列 {sn } 为单调增加数列
3比较审敛法设∑和∑v均为正项级数 nE 且an≤vn(n=1,2,…),若∑v收敛,则un收敛; H=1 n=1 反之,若∑un发散,则∑发散 H-=1 n-=1 证明(1)设口=∑“M≤ 且sn=1+u2+…+n≤v1+V2+…+Vn≤o, 部分和数列有界 ∑un收敛 nE
且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛； 反之，若 n=1 un 发散，则 n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++ = = 1 (1) n n 设 v , n n u v , 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n v + v ++ v 1 2
(2)设S→)∞(→∞)且un≤v 则a≥50→)不是有界数列 ∑v发散 定理证毕 推论:若∑4,收敛(发散 且vn≤kan(n≥N)( hu <y)则∑vn收敛(发散) 比较审敛法的不便:须有参考级数
n n 则 s (2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v 推论: 若 n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v ,则 n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数
例1讨论P级数 1++++…++…的收敛性(P>0) 23 4 解设p≤,“2,则P-级数发散 n J 设p>1由图可知≤ n dx n-lyp (p>1) S.=1+ 3 n dx ≤1+ l yp
例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1