沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第三章 线性方程组 3.3 线性方程组有解判别定理

第三章线性方程组F=r+rF=nfrn)Mg3.3线性方程组有解判别定理-nx(nxr)手r-n(n)）主讲人：黄影

3.3 线性方程组有解判别定理 第三章 线性方程组 主讲人：黄影

3.3线性方程组有解判别定理一、矩阵的秩aa12Wn定义a21O.d22设A=21.....(as1 as2... asn )则矩阵A的行向量组（aii,ai2,ain），i=l,2,,的秩称为矩阵A的行秩：ajanj矩阵A的列向量组,j=1,2,..,n:asj的秩称为矩阵A的列秩

一、矩阵的秩 定义 的秩称为矩阵 A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i in a a a i s = 的秩称为矩阵 A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 1 2 , 1,2, , j j sj a a j n a       =     11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a     =       设 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理定理矩阵的行秩一矩阵的列秩定义矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩记作rank(A)或R(A)注① 若A=0，则 R(A)= 0② 设A = (aij)sxn ,则 R(A) ≤ min(s,n).若R(A)= S， 则称A为行满秩的;若 R(A)=n，则称A为列满秩的

定理 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩， 记作 注 ① 若 𝑨 = 𝟎 ，则 𝑹(𝑨) = 𝟎. ② 设 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 𝒔×𝒏 ,则 𝑹(𝑨) ≤ 𝐦𝐢𝐧( 𝒔, 𝒏). 若 𝑹 𝑨 = 𝒔 , 则称A为行满秩的； 若 𝑹(𝑨) = 𝒏 , 则称A为列满秩的. 3.3 线性方程组有解判别定理 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨)或R(A)

3.3线性方程组有解判别定理矩阵秩的有关结论定理设 A=(aj)nn，则A=0台R(A)<n;( A|+0 αR(A)=n

矩阵秩的有关结论 定理 设 A a = ( )ij n n ， 则 A R A n =   0 ( ) ; ( A R A n   = 0 ( ) ) 3.3 线性方程组有解判别定理

3.3线性方程组有解判别定理推论1n个n维向量α,=(aii,ai2,"",ain),i=1,2,,nal al2 ..aina122... a2na21=0.线性相关←一→行列式........[an aannan2 ...aa12..ain0a22a21...azn线性无关←行列式+0.......an an2 ... amnl

线性相关 11 12 1 21 22 2 1 2 0. n n n n nn a a a a a a a a a 行列式 = 线性无关 11 12 1 21 22 2 1 2 0. n n n n nn a a a a a a a a a 行列式  n 个 n 维向量 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in  = = a a a i n 推论1 3.3 线性方程组有解判别定理