第三章量线性方程组F=r+r=nfrn)Mg3.4线性方程组解的结构-nx(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影
3.4 线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 主讲人：黄影
3.4线性方程组解的结构一齐次线性方程组解的结构aux, +ai2x2+... +ainx,= 0(1)a21x + a22X2 +... + a2nX, = 0asix +asx +.+asnx,=0解的性质性质1(1)的两个解的和还是(1)的解性质2(1)的一个解的倍数还是(1)的解性质3(1)的解的任一线性组合还是(1)的解
一、 齐次线性方程组解的结构 解的性质 性质1 (1)的两个解的和还是(1)的解. 性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解. 性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (1) 3.4 线性方程组解的结构
3.4线性方程组解的结构(1)若x = 51,x = 52 为 Ax = 0的解， 则 x = + 52 也是 Ax =0 的解证明：A=0,A=0:. A(5i + 52)= A5i + A52 = 0故x=1+2也是Ax= 0的解
(1)若 为 的解，则 = 1 x = 2 x , Ax = 0 x = 1 + 2 也是 Ax = 0 的解. 证明 A( 1 + 2 ) = A 1 + A 2 = 0 A 1 = 0, A 2 = 0 故 𝒙 = 𝝃𝟏 + 𝝃𝟐 也是𝑨𝒙 = 𝟎的解. 3.4 线性方程组解的结构
3.4线性方程组解的结构(2)若x=5为 Ax=0 的解，k为实数，则 x=k5也是Ax=0的解证明 A(k5)=kA(5)=k0=0证毕由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组Ax=0的解空间
(2)若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x = 1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0. 1 = 1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕. 3.4 线性方程组解的结构
3.4线性方程组解的结构定义齐次线性方程组(1)一组解向量ni,n2,"，nr，若满足i）n,n,n线性无关；ii）（1)的任一解向量可由ni,n2，n,线性表出则称 n1,n2…,n,为(1)的一个基础解系注基础解系是解向量组的极大线性无关组
齐次线性方程组(1)一组解向量 1 2 , , , r ， 若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 1 2 线性表出. , , , r i） 1 2 , , , r 线性无关； 则称 1 2 , , , r 为(1)的一个基础解系． 定义 3.4 线性方程组解的结构 注 基础解系是解向量组的极大线性无关组