ut ed 第三节函数的单调性与极值 函数的单调性 函数的极值
二 函数的极值 一 函数的单调性 第三节 函数的单调性与极值
函数的单调性 y=f(r) y=f(r) B 0 a b 0 a 6 x f(x)≥0 f(x)≤0 若y=f(x)在区间(ab)上单调上升 f(x)≥0 若尸=f(x)在区间(a,b)上单调下降(x)≤0 上一页下一页返回
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 a b B A 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调上升 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调下降 f (x) 0 一、函数的单调性 f ( x ) 0 f ( x ) 0
1单调性的判别法 定理1 设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(a,b可导 (1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调增加 (2)如果在(a,b)内∫(x)<0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调减 上一页下一页返回
定理1 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) . 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内可导 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = 1 单调性的判别法
证Vx1,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得 ∫(x2)-f(x1)=∫(2)(x2-x1)(x1<5<x2) ∵x2-x1>0, 若在(a,b内,f(x)>0,则∫(4)>0 f(x2)>f(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则f(2)<0, f(x2)<f(x1)∴y=f(x)在a,b上单调减少. 上一页下一页返回
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1判断函数y=mx的单调性 解函数的定义域为0+∞ >0, 函数在(0,+∞)内单调增加 上一页下一页返回
函数在 (0,+) 内单调增加. 解 函数的定义域为 (0,+.) 0， 1 = x y 例1 判断函数 y = ln x 的单调性. y = ln x y o x 1