ut ed 第五节曲线的回凸性与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 、曲线的拐点及其求法
第五节 曲线的凹凸性与拐点 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法
曲线凹凸的定义y B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? M f(x)+f(x2) f(r) y=f(x)2 x1)于f(x2) fo x1汁x x111+x 0 xI x1+x2 x2x 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 上一页下一页返回
问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 2 1 2 x + x ) 2 ( 1 2 x x f + 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x 1 x x2 x y o y = f (x) 2 1 2 x + x ) 2 ( 1 2 x x f + 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x x y o A B M N 一、曲线凹凸的定义
定义设f(x)在(a,b内连续如果对(a,b内任意 两点x,x2,恒有f(+x 2)f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是的; 如果对(a,b内任意两点x1,x2,恒有 +x2、∫(x1)+f(x2) 2 2 那末称f(x)在(a,b内的图形是凸的; 上一页下一页返回
( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + 定义
y=∫(x y=f(r)B 0 a b x 凹弧:曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凸弧:曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方 上一页下一页回
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B a b B A 凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方
二、曲线凹凸的判定 y=∫(x y=f(r)B 0 a b x f(x)递增 y>0 递减y”< 定理1如果f(x)在{a,b上连续,在(a,b)内具有 二阶导数,若在(a,b)内 (1)∫"(x)>0,则f(x)在|a,b上的图形是口的; (2)f"(x)<0,则∫(x)在[a,b上的图形是凸的 上一页下一页现回
x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定