ut ed 第一节微分中值定理 一、罗尔(Role)定理 拉格朗ggy中值定理 、柯西( cauchy)中值定理 四、泰勒( Taylor)中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 第一节 微分中值定理 四、泰勒(Taylor)中值定理
罗尔(RoIe)定理 1费马( Fermat)引理 若函数f(x)在(a,b)内一点x取得最值, 且f(x)在点x可微,则f(x0)=0 几何解释: 曲线在最高点和最低点 y=∫(x) 然有水平切线,其斜 率为0 52 b x 上一页下一页返回
1 费马（Fermat)引理 一、罗尔(Rolle)定理 几何解释: 率为0. 显然有水平切线，其斜 曲线在最高点和最低点 x y o y = f (x) 1 2 a b 0 0 0 0 f ( x ) x f ( x ) = f ( x ) ( a,b ) x 且 在点 可微，则 若函数 在 内一点 取得最值
证明:只就f(x)在x达到最大值证明 由于f(x)在x达到最大值,所以只要。+Ax在(a,b)内 就有f(x+△x)≤∫(x0,即f(x+△x)-f(x0)≤0, 从而f(x+Ax)-f(x≤0,当Ax>Q时 ∫(xn+△x)-f(x)≥0,当A<Q时 △y 这样f(x+0)=li f(o+Ar)-f(o ≤0 ∧X→>0 f(o-0=lim f(x0+Ax)-∫(x0) 0 X→0 △ 所以f(x)=0 上一页下一页现回
证明: 只就f (x)在x0 达到最大值证明。 ( ) ( ), ( ) ( , ) , 0 0 0 0 f x x f x f x x x x a b + + 就 有 由 于 在 达到最大值，所以只要 在 内 ( ) ( ) 0, 即 f x0 + x − f x0 0, 0 ; ( ) ( ) 从 而 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0, 0 ; ( ) ( ) 0 0 当 时 + − x x f x x f x 0 ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − + = → + x f x x f x f x 这 样 0. ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 x 0 0 + − − = → − x f x x f x f x 所以f (x0 ) = 0
2罗尔(Role)定理 罗尔( Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间|a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即∫(2)=0 C y=∫(x) 几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点,在该点处的切线是水 上一页下一页返回
几何解释: 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的. 2 罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = C a 1 2 b x y o y = f (x)
证∵f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得∫'(x)=0.V号∈(a,b),都有∫'(2)=0 (2)若M≠m.∵∫(a)=∫(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a 则在(a,b)内至少存在一点ξ使∫(4)=M 由费马引理可知,f()=0. 上一页下一页返回
证 f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M = m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. 由费马引理可知， f ( ) = 0