ut ed 第五节全微分方程 、全微分方程及其求法 二、积分因子法 阶微分方程小结
第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结
、全微分方程及其求法 定义:若有全微分形式 du(x, y)=p(x, y)dx+e(x, y)dy 则P(x,y)x+Q(x,y)小=0称为全微分方程 例如xix+yy=0,u(x,y)=(x2+y2), dn(x,y)=xx+y,所以是全微分方程 全微分方程分→ aP 8Q OY OX 上一页下一页现回
例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. 定义: 则 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0称为全微分方程. . X Q Y P = 全微分方程 一、全微分方程及其求法
解法: P(x,y)x+Q(x,y)ly=0全微分方程 解法1:应用曲线积分与路径无关 通解为u(x,y)=P(x,y)dx+Q(xn,y) T2(x,y)dy+ P(, yo)dx,u(x, y)=C; 解法2:用直接凑全微分的方法 解法3:利用不定积分法求u(x,y) 上一页下一页返回
解法1：应用曲线积分与路径无关. 解法2：用直接凑全微分的方法. 解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 通解为 = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y = y + u(x, y) = C; 解法3：利用不定积分法求 u(x, y)
例1求方程(x3-3xy2)dx+(y3-3x2y)4y=0 的通解 P 00 解 6xy=8,是全微分方程, u(x,y)=h(xa-3xy2)dx+ry'dy x43 22 y 42 原方程的通解为 22 y y=C. 上一页下一页返回
解 6 , x Q xy y P = − = 是全微分方程, . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 例1 求方程 x − xy d x + y − x y dy =
2x 3x 例2求方程=d+ 小y=0的通解 解 aP 6x a0 ,是全微分方程, dr 2x 3x 将左端重新组合2!+(x-4) =d(-)+d(3)=d(-+.), 原方程的通解为 =C. 3 上一页下一页返回
解 , 6 4 x Q y x y P = − = 是全微分方程, . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为 − + = 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 例2