第二节函数的做分 问题的提出 微分的定义 可微与可导关系 四微分的几何意义 五微分在近似计算中的应用 六小结
第二节 函数的微分 一 问题的提出 二 微分的定义 三 可微与可导关系 四 微分的几何意义 五 微分在近似计算中的应用 六 小结
问题的提出 例1.正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到xn+Ax, 因为正方形的面积 △r 所以△4=(xn+△Ax)2-x2 2x0·△x+(△x) (1):△x的线性函数,为△A的主要部分 (:△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 上一页下一页返回
2 A x0 x0 x0 (): x的线性函数, 为A的主要部分; (): x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略. x x 2 (x) x x 0 x0x 例1.正方形金属薄片受热后面积的改变量. () () 设边长由 变到 因为正方形的面积 所以 2 ( ) . 2 x0 x x 2 0 2 0 A (x x) x , x0 x0 x 一 、问题的提出
二微分的定义 1定义1设函数y=f(x)在某个区间内有定义, x及x0+△x在这区间内,如果 4y=f(x0+△)-f(x)=A△x+0(△x) 成立(其中A是与△关的常数),则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称A·△x为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分 记作或f(x0),即小==A△x 上一页下一贡返回
是与 1.定义1.设函数 y f (x)在某个区间内有定义， 0 x x x 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 y f x x f x Ax o x A 及 在这区间内，如果 成立(其中 x无关的常数),则称函数 为函数 x0 的微分 y f (x) 0 |x x dy ( ), 0 df x dy A x x x 0 | 在点 0 x 可微,并且称Ax y f (x)在点 相应于自变量增量 x 记作 或 即 二 微分的定义
微分dy叫做函数增量△y的线性主部 2.说明: (1)是自变量的改变量Ax的线性函数; (2)4y-小=0(△x)是比△x的高阶无穷小; (3)lim Δy- △y→0 4-是比今y的高阶无穷小 (4)当|△x很小时,≈小(线性主部) 上一页下一贡返回
2.说明： 的高阶无穷小； dy x y dy o(x)是比x (1) 是自变量的改变量 的线性函数； (2) lim 0, 0 y y dy y y dy y (3) 是比 的高阶无穷小； (4) 当 | x |很小时，y dy（线性主部). 微分dy叫做函数增量Δy的线性主部
三、可微与可导关系 1定理函数∫(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x) 证(1)必要性∵∫(x)在点x可微 △y=A△x+0(Ax,∴=A40(△x) △ △v △y △ 则lim=A+lim 0(△x) Ax→+0△v Ax→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 上一页下一页返回
( ) ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在点 处可导, 且 1 定理函数 在点 可微的充要条件是函 A. 证 (1) 必要性 在点 可微, 0 f (x) x y Ax o(x), , ( ) x o x A x y x o x A x y x x ( ) lim lim 0 0 则 ( ) ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导, 且A f 三、可微与可导关系