ut ed 第二节洛必达法则 洛必达法则 二其他未定式 0.∞,0-∞0Y,02
0 0 0, −,0 ,1 , 第二节 洛必达法则 一 洛必达法则 二 其他未定式
型及—型未定式解法:洛必达法则 0 定义如果当x→a(或x→∞),两个函数f(x) 与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限 lim flx 称为或型未定式 (x→>0 tanx 0 Insin ax 例如 x→>0x ) im >0 In sin bx 上一页下一页返回
一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 0 . F( x ) f ( x ) lim F( x ) , x a( x ) , f ( x ) ( x ) x a 称为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → 0 0 例如, , tan lim 0 x x x→ ) 0 0 ( , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ( ) 定义
定理设(1当x→l时函数∫(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某领域内点a本身可以除外)f(x) 及F(x)都存在且F(x)≠0 (3)mf(x) 存在(或为无穷大) x-yaF(x) 那末 im f(x) f'(x) xF(x)x→F"(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 当x→>时,该法则仍然成立 上一页下一页现回
定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 当x → 时,该法则仍然成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . F ( x ) f ( x ) lim F( x ) f ( x ) lim ( ); F ( x ) f ( x ) lim F x F x ; a ( a ), f ( x ) x a , f x F x ; x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 及 都存在且 在 点的某领域内 点 本身可以除外 设 当 时 函数 及 都趋于零 3 0 2 1
证∵(≌(2“的极限与f()及g(a无关,所以定义 g(r) f∫(x),x≠a F(x),x≠ 辅助函数f(x)= F1(x) x三 在U"(a,8)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-∫(a)f() F(x)f(x)-F(a)F'(2) (在x与a之间) 当x→l时,→a,'(x)=A,imn ∫'(4) F'(x) 5→aF(2 1m F(x)=m F(e) 上一页下一页返回
证 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x 在U ( a, )内任取一点 x, 0 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → → ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) x a 的极限与 f a 及g a 无 关 g x f x → 辅助函数 所以定义
例1求im3 x3-3x+ 2 x+1 解原式=lim 3x2=3 x→13x2-2x-1 6x3 =lim x→16x-22 tan 2x 例2求lm x→>0y 0 解原式=him(an2x 2sec 2x lim x→>0 上一页下一页现回
例 1 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( 例 2 . tan 2 lim0 x x x → 求 ) 00 ( ( ) (tan 2 ) lim0 = → x x x 原 式 1 2sec 2 lim 2 0 x x → 解 = = 2