ut ed 第四节一阶线性微分方程 线性方程 贝努利方程 小结
第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 二、贝努利方程 三、小结
、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: dy tP()y=e(x) 当Q(x)≡0,方程称为齐次方程 当Q(x)≡0,方程称为非齐次方程 例如如 hy+x2,m= clint+t2,线性的; 功y2-2xy=3,y-cosy=1,非线性的 上一页下一页返回
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 方程称为齐次方程. 当Q(x) 0, 方程称为非齐次方程. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 非线性的
阶线性微分方程的解法 dy 线性齐次方程+P(x)y=0. (使用分离变量法) dy =-P(x)x, P(x)dx, Iny=-P(x)dx+InC, 齐次方程的通解为"=CeJP(x 上一页下一页返回
P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) − = P x dx y Ce 一阶线性微分方程的解法 + P(x) y = 0. dx dy 线性齐次方程 (使用分离变量法)
线性非齐次方程"+P(x)y=Q(x) 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 设y=l(x)e()4是方程的解, y=u (xe / P(x)d+(xI-P(xleP(xy 上一页下一页返回
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. ( ) ( )[ ( )] , − ( ) ( ) = + − P x d x P x d x y u x e u x P x e 常数变易法 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 设 , ( ) ( ) 是方程的解 − = P x dx y u x e
将y和y代入原方程得u(x)e P(x)dx =Q(x) P(x)dx 积分得以(x)=Qx)kdx+C, 阶线性非齐次微分方程的通解为 「P(x)x y=[l2()e dx+cle P(x)dx P(x)dx Ce P(x)dx ∫Q(xx P(x)de 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解 上一页下一页返
将y和y 代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x = + 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: − = + P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x = + − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解