ut ed 第六节可摩阶的商阶微分方程 y"=f(x)型 y"=f(xy)型 f(,y)型
第六节 可降阶的高阶微分方程 三 型 一 型 二 y = f (x, y ) 型 y = f ( y, y ) ( ) ( ) y f x n =
f(x)型 特点:元素未显含函数y,…,y(m) 解法:连续积分n次,可得通解 例1求方程y"=sinx+x的通解 y=∫(x+ sin.rides 1 x -cosx+ CI y==x-sinx +Cix+ 6 2 x"+coSx十 CI x+cr+ 18 3 上一页下一页返回
特点： , , . ( −1) n 元素未显含函数 y y 解法： 连续积分n次， 可得通解. 一、 y (n) = f (x) 型 例1 求方程y = sin x + x的通解. = + = − + 1 2 cos 2 1 y (x sin x)dx x x C 1 2 3 sin 6 1 y = x − x + C x + C 2 3 2 1 4 2 1 cos 18 1 y = x + x + C x + C x + C
二、y"=f(x,y)型 特点:方程未显含未知数y dP 解法:令y'=P则,y dx 代入原方程得 女=(x,p 设其解为P P(, Cu) 原方程通解为:y=」q(x,C1)x+C 上一页下一页返回
二、 y = f (x, y ) 型 特点： 方程未显含未知数 y 解法： dx dP 令y = P则, y = f (x,P) dx dP 代入原方程得 = ( , ) x C1 dx dP 设其解为 P = = = ( , ) + . x C1 dx C2 原方程通解为： y
例2求方程(1+x2)y"=2xy’的通解 dP 解令y=P,则y P 方程化成(1+x2)=2xP 分离变量 2x dP= P 1+x 积分P=y′=C1(+x 方程的通解为y=C1(x+2x°)+C2 上一页下一页返回
解 (1 ) 2 . 2 例 2 求方程 + x y = xy 的通解 dx dP 令y = P,则y = xP dx dP (1 x ) 2 2 方程化成 + = dx x x dP P 2 1 1 2 + 分离变量 = 积分 P＝y ＝C（1 1＋x 2） 2 3 1 ) 3 1 方程的通解为 y = C (x + x + C
三、y"=f(y,y/)型 特点:方程不显含自变量 解法:令=P,则”Pp=pP 中dxdy dP 代入原方程得P=,P 设其解为P=y'=p(y,C1) 原方程通解为 dy=x+C2 P(y, CD) 上一页下一页返回
特点: 方程不显含自变量x 解法： , . dy dP P dx dy dy dP 令y = P 则y = = f ( y,P) dy dP 代入原方程得 P = ( , ) C1 设其解为 P = y = y 2 1 ( , ) 1 dy x C y C = + 原方程通解为 三、 y = f ( y, y ) 型