ut ed 第二节微积分基本定理 积分上限函数及其导数 积分上服函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式 第二节 微积分基本定理
、积分上限函数及其导数 1积分上限函数设∫()在区间[a小上连续, 且xeb,则∫∫()存在如积分上限x 在[a,b上任意变动,那么对于每一取定的x值, 均有唯—的数「(M与之对应,所以”f( 是一个定义在[,上的关于x的函数,记为 (x)=f(t(asx≤b) 上一页下一页返回
1.积分上限函数 设 在区间 上连续， 且 ，则 存在，如积分上限 在 上任意变动，那么对于每一取定的 值， 均有唯一的数 与之对应，所以 是一个定义在 上的关于 的函数，记为 f (t) a,b xa,b f (t)dt x a x x f (t)dt x a f (t)dt x a a,b (x) f (t)dt x a = (a x b) a,b x 一、积分上限函数及其导数
称Φ(x)积分上限函数 2积分上限函数的几何意义积分上限函数 Φb(x)在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积(图5-6) +△xb 上一页下一页返回
称 (x) 为积分上限函数. (x) (图5－6) 2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积 . a b x y o x + x (x) x
3性质 (1)定理1若f(x)在[a,b上连续,则积分 上限函数(x)=「f(址在n,6上具有导 数,且它的导数Φ(x)=f(x)(a≤x≤b) 证(x+△x)=f(t △=Φ(x+Ax)-Φ(x)(图5-6 f(tdt-If(tat 上一页下一页返回
3.性质 证 (x x) f (t)dt x x a + + = ＝(x + x)−(x) (图5－6) f (t)dt f (t)dt x a x x a = − + f (x) a,b (x) f (t)dt x a = a,b (x) = f (x) (a x b) (1)定理1 若 在 上连续，则积分 上限函数 在 上具有导 数，且它的导数
ff(dt+f(tdt-(dt =f(=(5)△x 5∈(x,x+△x) △d lim(s)=limf($)=f() △x->0 dqp(x) =(x)=f(x) 上一页下一页返回
f ( ) x x 0 x 0 lim lim → → = ( ) f →x = lim = f (x) 即： ( ) (x) f (x) dx d x = = ( ) ( ) ( ) = + − + x a x x x x a f t dt f t dt f t dt f (t)dt f ( ) x x x x = = + (x, x + x)