ut ed 第四节高阶数 一高阶导数的定义 二高阶导数的求法 三莱布尼兹公式 四小结
第四节 高阶导数 一 高阶导数的定义 二 高阶导数的求法 三 莱布尼兹公式 四 小结
阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设S=S(t),则速度为v(t)=s(t) at 加速度m是速度对时间t的变化率, a(t)=v(t)=|s(t) 定义如果函数f(x)的导数f(x)在x点处可导,即 ((r=lim f(x+△x)-f(x) △x→>0 存在,则称∫(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数 上一页下一页回
问题：变速直线运动的加速度 dt ds 设 s = s(t),则速度为v(t) = s(t) = a(t) = v(t) = [s(t)]. 加速度a是速度v对时间t的变化率， ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) 0 存在，则称 为函数 在点 处的二阶导数 定义 如果函数 的导数 在 点处可导，即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = → 一、高阶导数的定义
d 7∫(x) 记作∫"(x),y,2或2 二阶导数的导数称为三阶导数,∫"(x),y L 三阶导数的导数称为四阶导数,f((x),y",dx 般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数记作 f(x), y(n, a yu f(r) 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地f(x)称为零阶导数f(x)称为一阶导数 上一页下一页返回
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 函数 的 阶导数,记作 一般地,函数 的 阶导数的导数称为 f x n f x n ( ) ( ) −1 . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地,f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
二、高阶导数求法举例 由高阶导数的定义还步求高阶导数 例1设y=ax2+bx+c,求y,y”,y(, 解y=2ax+b,y"=2a,y=0 例2设y=a2,求y 解y=a:lna,y”=a(na)2 ,y=a(na)" 上一页下一页返回
二、 高阶导数求法举例 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 解 例1 , , , . 2 (n) 设 y = ax + bx + c 求y y y 2 , 2 , 0. ( ) = + = = n y ax b y a y 例2 , . x (n) 设 y = a 求 y 解 , (ln ) . ln , (ln ) , ( ) 2 n x n x x y a a y a a y a a = = =
例3设y=x2(a∈R),求y( 解y=ax2al ,=(ac)=a(a-1)xa- y"=(a(a-1)x2y=a(a-1)(a-2)x3 y)=a(a-1)…(a-n+1)x“"(n≥1) 若a为自然数n,则 (n n (n+1) y (n.y=0. 上一页下一页返回
例 3 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 = y x ( )1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − = − − ( ( 1) ) x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0