太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）曲率

ut ed 第七节曲率 孤微分 二曲率及其计算公式 三曲率圆与曲率半

第七节 曲 率 二 曲率及其计算公式 一 弧微分 三 曲率圆与曲率半径

弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 在曲线上取点:A(x0,y) M 作为度量弧长的基点 对于曲线上任意一点M(x,别,xxx+4x 规定:(1)曲线的正向为增大的方向 (2)AM=,当AM的方向与曲线正向 一致时,s取正号,相反时,s取负号 易看出:弧长S=s(x是x的单调增函数 上一页下一页返回

N T A 0 x M x x + x . f ( x ) ( a,b ) 内具有连续导数 设函数 在区间 x y o 规定： (1)曲线的正向为x增大的方向; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM 一 弧微分 . : A( x , y ) 作为度量弧长的基点 在曲线上取点 0 0 对于曲线上任意一点M( x, y ), 易看出：弧长 s = s(x)是 x 的单调增函数

下面求S=S(x)的导数与微分 设N(x+△x,y+Ay)为曲线 上的另一点△=MN M 2 2 △ MN MN MN x+△ △ △x MN △ mN (△x)2+(Ay)2 mN 2 (△y) 十 M (△x)2MN △x MN (△y)2 土MN 十 △v 上一页下一页返回

下面求 s = s(x) 的导数与微分 , ( , ) 上的另一点 设N x + x y + y 为曲线 s = MN N M T A 0 x x x + x x y o 2 2         =        x MN x s 2 2          •         = x MN MN MN ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y MN MN   +  •         = ( )           • +         = 2 2 2 ( ) 1 x y MN MN ( )           • +         =    2 2 2 ( ) 1 x y MN MN x s

y 当△x→0时,N→M MN y N-M(MN △x→>0△x x+△xx 故ds=士√1+y2d s=s(x)为单调增函数, 故d=1+y"2t 弧微分公式 上一页下一页返回

当x →0时, N → M 1 . 2 故 ds =  + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A 0 x x x + x x y 1 o lim 2 =         → MN MN N M y x y x =     →0 lim

曲率及其计算公式 1曲率的定义 -描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 Aa, △S /M △S1 M M △S, △S,丿N △o 1)弧段弯曲程度越大转角越大, 2)转角相同弧段越短弯曲程度越大。 上一页下一页返回

------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N  1）弧段弯曲程度越大转角越大， 2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。 1 曲率的定义 1 二、曲率及其计算公式