例1计算积分∬上dd,其中D是正方形区域：1≤x≤2,0≤ys1. 解：川dxdy=dr心d-d=4 例2计算∬W1+x-ydo,其中D是由直线y=x,x=-1 和y=1所围成的闭区域. 解题步骤：（1)画出积分区域D (2)D即可看成X-型，又可看成Y-型 =X 2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回 例 1 计算积分 2 d d D y x y x ∫∫ ，其中 D 是正方形区域: 1 2, 0 1 ≤ x y ≤ ≤≤ . 解： 2 d d D y x y x ∫∫ 2 1 2 1 0 d d y x y x = ∫ ∫ 2 2 1 11 1 d . 2 4 x x = = ∫ 例 2 计算 2 2 1 d D y xy + − σ ∫∫ ，其中 D 是由直线 y x = ，x = − 1 和 y = 1所围成的闭区域． 解题步骤： （ 1 ）画出积分区域 D （2） D 即可看成 X − 型，又可看成 Y − 型
例3计算小Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域」 解：为计算简便，先对x后对y积分， 则 1 0 4 x wno-时dx y=x-2 =L22yay=0+22-y51d 4 例4末sn 解题思路：无法直接计算，但交换积分顺序后可以求解。 2009年7月25日星期六 / 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 返回 ,d ∫∫D yx σ 其中D 是抛物线 = xy2 所围成的闭区域. 解 : 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, ⎩ ⎨ ⎧ D : ∫ d xyx ∴ ∫ ∫D yx d σ ∫− = 2 1 d y [ ] ∫− + = 2 1 2 2 2 1 2 dyyx y y ∫− = −+ 2 1 52 d])2([ 2 1 yyyy 8 45 = D = xy 2 = xy − 2 2 − 1 4 o y x 2 y 2 yxy +≤≤ − ≤ y ≤ 21 2 y y + 2 y = x − 2 及直线 则 例 3 计算 例 4 求 1 1 0 sin d d y x y x x ∫ ∫ . 解题思路：无法直接计算，但交换积分顺序后可以求解
例5求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积. 解：设两个直圆柱方程为 x2+y2=R2,x2+22=R2 利用对称性，考虑第一卦限部分， 2+y2=R2 其曲顶柱体的顶为z=√R2-x2 (Gx,)eD:0≤y≤VR2- 0≤x≤R 2=R2 则所求体积为 r-80nR-rdxdy=8a2-dgdy =80(R2-x2)dx=16R3 2009年7月25日星期六 8 目录○ 上页) 下页 返回
2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回 例 5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. x y z R o R 解 : 设两个直圆柱方程为 , 222 =+ Ryx 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 V yxxR D 8 dd22 ∫∫ = − ∫ − 22 0 d xR y xxR R d)(8 0 22 ∫ −= 3 3 16 = R 222 =+ Rzx 22 z = R − x ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ −≤≤ ∈ 0 0 :),( 22 Rx xRy Dyx xxR R 8 d 0 22 ∫ −= 222 =+ Ryx 222 =+ Rzx D