课前导读 数列{xn}:X,x2,X3,.,Xn,. 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中x,称为数列的首项，x,称为数列的第n项，或称为数列的一般项 (通项)： 等差数列{x}:公差d=xn-x∈R,通项公式为x,=x+(n-1)d,前n项 求和公式为s,=n+x) 2 等比数列：公比9=立 Xn-1 ，通项公式为x,=xg,前n项求和公式 为s=-9) 1-q
36 课 前 导 读 数列 : 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项 (通项). xn 1 2 3 , , , , , n x x x x 1 x n x 等差数列 : 公差 ，通项公式为 ，前 n 项 求和公式为 . xn n n 1 d x x R = − − 1 ( 1) n x x n d = + − 1 ( ) 2 n n n x x S + = 等比数列 : 公比 ， 通项公式为 ，前 n 项求和公式 为 . xn 1 1 n n x x q − = 1 (1 ) 1 n n x q S q − = − 1 n n x q R x − =
数列极限的概念 第一章函数、连续与极限 1.数列极限的引入 一尺之棰，日取其半，万世不竭 《庄子·天下篇》 一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列： 111 1 222.12元. 数列的通项为，当n无限增大（记作n→o,读作n趋于无穷大）时，：无限接 近一个确定的数0.在数学上称这个确定的数0是数列号当n→∞时的极限. 37
37 一、数列极限的概念 第一章 函数、连续与极限 一尺之棰， 日取其半， 万世不竭. ———«庄子 · 天下篇» 一尺长的木棍， 每天截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列: １. 数列极限的引入 1 2， 1 2 2， 1 2 3，.， 1 2 𝑛，.， 数列的通项为 ， 1 2 n 当 n 无限增大(记作 n → ， 读作 n 趋于无穷大)时， 1 2 n 在数学上称这个确定的数 0 是数列 当 时的极限. 1 2 n n → 无限接 近一个确定的数0
1.数列极限的引入 第一章函数、连续与极限 解决实际问题时，经常用到极限方法.极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论.先看下面的4个数列： 1 1 (1) 1, 23. (2) 1,3 ，32 .，30-1 (3) 1,-1 4 (4) n+-1)- 2,2,3，., 它们的一般项依次为 n,3-,(-1),+ 38
38 １. 数列极限的引入 第一章 函数、连续与极限 解决实际问题时， 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的４ 个数列. 1 1 2 1 3 1 ， ， ，.， n ，.; 1 ， 3 ， ，.， ，.; 2 3 1 3 n− 1 ， −1 ， ，.， ，.; ( ) 1 1 n− 1 − 2 ， ， ，.， ，.; 1 2 4 3 ( ) 1 1 n n n − + − （2） （1） （4） （3） 它们的一般项依次为 1 n ， 1 3 n− ， ( ) 1 1 n− − ， ( ) 1 1 n n n − + −
1.数列极限的引入 第一章函数、连续与极限 在几何上，数列{x}可看作数轴上的一个动点，如图1-35所示 产X X3 X2 X1 X4 X5 X6 Xn 图1-35 它依次取数轴上的点，x2,x3,.,x。. 按函数的定义，数列{x}可看作自变量为正整数n的函数，即x,=f(n, 它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3，.时，对应的函数值就排列 成数列{x}
39 １. 数列极限的引入 第一章 函数、连续与极限 在几何上，数列 xn 可看作数轴上的一个动点， 如图1-35所示 ， 1 x 2 x 3 x n 它依次取数轴上的点 ， ， ， ， x . x3 x2 𝑂 x1 x4 x5 x6 xn x 图1-35 按函数的定义， 数列 可看作自变量为正整数 的函数， 即 ， 它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排列 成数列 . xn n x f n n = ( ) n 1,2,3, xn
1.数列极限的引入 第一章函数、连续与极限 现在我们所关心的问题是； (1)给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？随着的无限增大，xn能否无限 接近某个常数？ (2)如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少？ 可以看出，在前面所列的4个数列中，当n→∞时，数列(1)的一般项，=，将无 限接近于常数0.数刚(4)的一般项-”+P=1+ 将无限接近于常数1.而数 列(2)的一般项x,=3却在无限增大，它不接近于任何确定的数值.数列(3)的 一般项，=(~)始终交替地取值为1和-1，不接近于任何确定的数值.据此，我 们可以认为，数列(1)和(4)是“有极限”的，而数列(2)和(3)是“无极限”的 40
40 １. 数列极限的引入 第一章 函数、连续与极限 现在我们所关心的问题是: (１) 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？ 随着 的无限增大， 能否无限 接近某个常数? (２) 如果能无限接近某个确定的数， 则该常数是多少? n n x 数列(４)的一般项 将无限接近于常数1. ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n n n n x n n − − + − − = = + 可以看出，在前面所列的4 个数列中， 当 n → 时， 数列(１)的一般项 将无 限接近于常数0. 1 n x n = 而数 列(２)的一般项 却在无限增大， 它不接近于任何确定的数值. 1 3 n n x − = 数列(３)的 一般项 始终交替地取值为1 和-1， 不接近于任何确定的数值. ( ) 1 1 n n x − = − 据此， 我 们可以认为， 数列(１)和(４)是“有极限”的，而数列(２)和(３)是“无极限”的