作者：月浩2011年9月 六、幂级数 1.求收敛半径、收敛区间、收敛域。 0-r (n+1)2 ,+02x-2-x-2 2nR6r-1)2 2 =g（2n+102n+2 4 所以收敛半径为R=2,收敛区间为(-1,3) 1-2时告2习1.经数发点，所型资装与收数区同司 4n+1)2 a,b>0 长程名r微之空治女微数》乐≥ n R-max(a.b) 3)2x 比值判别法，求得收敛域为[-1,1] m+rr 相式判法，求将收数提为为 2.求级数足2”收敛半径，已知至a”的收敛半径为r∈(0，+四). 0 n=0 解：取定)满足0<0<r.由于级数乞an0”绝对收敛，所以存在M>0,使得 Page 39 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 39 of 49 六、幂级数 1．求收敛半径、收敛区间、收敛域． （1） 2 2 1 ( !) ( 1) (2 )! n n n x n ¥ = å - ； 解： = + ®¥ ( ) ( ) lim 1 u x u x n n n 4 ( 1) (2 1)(2 2) ( 1) ( 1) lim ( 1) (2 )! ! ( 1) (2( 1))! ( 1)! lim 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 2 - = + + + - = - - + + ®¥ + ®¥ x n n n x x n n x n n n n n n ， 所以收敛半径为 R = 2 ，收敛区间为(-1, 3) ． | x -1|= 2时， 1 (2 1)(2 2) 4( 1) | | | | 2 1 > + + + = + n n n u u n n ，级数发散，所以收敛域与收敛区间相同． （2） 2 1 , 0 n n n n a b x a b n n ¥ = æ ö ç ÷ + > è ø å ． 解：级数 1 n n n a x n ¥ = å 的收敛域为 ) 1 , 1 [ a a - ，级数å ¥ =1 2 n n n x n b 的收敛域为 ] 1 , 1 [ b b - ．所以当a ³ b 时 级 数 的 收 敛 域 为 ) 1 , 1 [ a a - ， 当 a < b 时 级 数 收 敛域为 ] 1 , 1 [ b b - ． 收 敛 半 径 为 max( , ) 1 a b R = ． （3） 2 1 2 n n n x ¥ - = å 比值判别法，求得收敛域为[-1，1] (4) 2 1 1 (1 )n n n x n ¥ = å + 根式判别法，求得收敛域为 1 1 ( , ) e e - . 2．求级数 n n n x n a å ¥ = ! 0 收敛半径, 已知 n n n åa x ¥ =0 的收敛半径为 r Î(0,+¥)． 解：取定 0 x 满足 < x < r 0 0 ．由于级数 n n n a x0 0 å ¥ = 绝对收敛，所以存在M > 0，使得
作者：闫浩2011年9月 anx6sM(付m) 任取x∈(-0，+o),因为 三微三各周兰各r防 0n! (-0,+0),故其收敛半径为+0。 性. 解：根据题设条件，函数∫(x)在(-1,1)内各阶导数都存在，且∫(O)=∫'(0)=0，所以当 n≥2时，有 从而领数三白绝对收致 4.把函数在指定点展开为幂级数。 )f)=6-5x- 12-5x 6=0: 解：fx)= 12-5x 6+1 (6+x1-)6+x1-x 68-rg2 6+x1+白 6 所以f)=∑-r(g°+x,xe(-l山. (2)fx)=sim2x,x0=0: 解：sm2x=1-c9s2，c0s2x=2(-m2x2 2 n=0 (2n)1 Page 40 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 40 of 49 ( ) 0 a x M n n n £ " ． 任取 x Î (-¥,+¥) ，因为 n n n n n n x x n M x x n x a x n a ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ! £ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ! = ! 0 0 0 1 1 ， 且级数 å ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ! ¥ =0 0 1 n n x x n 收敛，所以级数 n n n x n a å ! ¥ =0 绝对收敛．因此级数 n n n x n a å ! ¥ =0 的收敛域为 (-¥,+¥) ，故其收敛半径为+ ¥ ． 3．已知å ¥ n=0 n n a x 的收敛半径为1，且 f (x) = 0 n n n a x ¥ = å ， 0 a0 = a1 = ，判断å ¥ =2 ) 1 ( n n f 的敛散 性． 解：根据题设条件，函数 f (x) 在(-1, 1) 内各阶导数都存在，且 f (0) = f ¢(0) = 0，所以当 n ³ 2时，有 ) 1 ( 1 (0) 2 1 ) 1 ( 1 (0) 2 1 1 ) (0) (0) 1 ( 2 2 2 2 n o n f n o n f n f f n f = + ¢ + ¢¢ + = ¢¢ + ， 从而级数 å ¥ =2 ) 1 ( n n f 绝对收敛． 4．把函数在指定点展开为幂级数． （1） 2 0 12 5 ( ) 0 6 5 x f x x x x - = = - - ； 解： x x x x x f x - + + = + - - = 1 1 6 6 (6 )(1 ) 12 5 ( ) ， å ¥ = = - + = + 0 ) 6 ( 1) ( 6 1 1 6 6 n n x n x x ， å ¥ = = 1- 0 1 n n x x ， 所以 f (x) = å ¥ = - + 0 ) 1) 6 1 (( 1) ( n n n n x ， xÎ(-1,1) ． （2） ( ) sin , 0 0 2 f x = x x = ； 解： 2 1 cos2 sin 2 x x - = ， å ¥ = = - 0 2 (2 )! 2 cos2 1 n n n n x x （ ） （ ）
作者：月浩2011年9月 2x,2-22-12 (2mj2 (3)fx)=sin3x,。=0: 利用三倍角公式逆用符到simx=子snx-子in3x:间接展开即可 1 (4)f(x)=l 2+2x+x =-1 解2+2z+-1++1-2-yr+,xe-20. n 5.求函数片n在x=0处的Tay1or展开式 解：利用sin1在0点的Taylor展开式，并证明其收敛半径为o,因此在[0，x]内级数一致 高an+2n+*2a(<+m. 收敛，基项积分得a=乞 成四-含职9四- 2-1n+r, 活号空号=吃=-1水1 2品-2 所以 4 2x 7.求极限im1-x3足n2x”. x→1厂 =1 解：记S=龙n2xH,则s)=三m”·又 2=】 Page 41 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 41 of 49 所以 = - 2 1 sin 2 x å å ¥ = + ¥ = - = - 1 2 1 0 2 (2 )! 2 1 2 1 (2 )! 2 1 2 1 n n n n n n n x n x （ ） （ ） （ ） （ ） ， xÎ(-¥,+¥)． （3） 3 0 f (x) = = sin x x, 0； 利用三倍角公式逆用得到 3 3 1 sin sin sin 3 4 4 x = -x x ；间接展开即可 （4） 2 0 1 ( ) ln 1 2 2 f x x x x = = - + + ． 解： å ¥ = + = - + + = - + + 1 2 2 2 ( 1) ln(1 ( 1) ) ( 1) 2 2 1 ln n n n n x x x x ， xÎ[-2,0] ． 5．求函数 dt t x t ò0 sin 在 x = 0 处的 Taylor 展开式 解：利用sin t 在 0 点的 Taylor 展开式，并证明其收敛半径为¥ ，因此在[0, x]内级数一致 收敛，逐项积分得 ò å ¥ = + + + - = 0 2 1 0 (2 1)!(2 1) ( 1) d sin n n n x x n n t t t (-¥ < x < +¥) ． 6．求å ¥ =2 - 2 ( 1)2 1 n n n 的和． 解：设 å ¥ = - = 2 2 1 ( ) n n n x s x ，则只需求 ) 2 1 s( ， å ¥ = + - - = 2 ) 1 1 1 1 ( 2 1 ( ) n n x n n s x ， ( ) 1 1 1 0 1 2 1 1 2 å å å åò ¥ = - ¥ = ¥ = ¥ - = = = - = - n x n n n n n n n x x dx n x x n x x n x ln(1 ) 1 1 0 dt x x t x x = - - - = ò ，| x |<1． å å ¥ = ¥ = = 2 + 3 1 1 n n n n n x n x x ， 所以 2 1 ( ) [ ln(1 )] [ ln(1 ) ] 2 2 2 x x s x x x x x = - - - - - - - ln(1 ) 2 1 4 2 2 x x x x - - + + = ，(0 < < | x | 1) ． 从而 1 2 1 3 1 5 3 2 ( ) ln ln 2 2 4 4 2 8 4 s + = + = - ． 7．求极限 å ¥ ® = - - 1 3 2 1 lim (1 ) n n x x n x ． 解：记 = å ¥ = - 1 2 1 ( ) n n S x n x ，则 ¢ ÷ ø ö ç è æ = å ¥ =1 ( ) n n S x nx ．又
作者：闫浩201年9月 0-∑nr”=m1-xS树 -的2 -来∫(O)的值 8.设)=1+ 解：为了求了m(O)的值，把)展成x的冪级数，由4，=()，则x∞的系数就是 l O,由此可求出了0)的值。 100 a=1+-42-+3-3-3-n+-r+ 2 2用 所以-灯+0- =0+3x+34x2++2n+10+2x+ +6+3x+分3-4+.+a+la+2r+） =1+4x+9x2+.+n2x-l+(n+12x"+. 令n=100则f@0=1012,所以m0)=10201-1001 100! 9.设a,a1,a2,.为等差数列，(a0≠0) 0求级数三a,r的做敛城。回求器的和S 解：（1)=+，会1所以及=1.当=出时，复致碳为 Page 42 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 42 of 49 , ( 1, 1) 1 ( 1) ( ) 2 1 1 1 1 Î - - = ¢ ÷ ø ö ç è æ - = ¢ ÷ ø ö ç è æ = å = å ¥ = ¥ = - x x x x x S x x nx x x x n n n n ， 所以 , ( 1, 1) ( 1) 1 ( ) 3 Î - - + = - x x x S x ，因此 3 2 3 1 1 1 3 3 1 lim (1 ) lim (1 ) ( ) 1 lim (1 ) 2. (1 ) n x x n x x n x x xS x x x x x - - - ¥ ® ® = ® - = - + = - = - å 8．设 3 (1 ) 1 ( ) x x f x - + = ，求 (0) (100) f 的值． 解：为了求 (0) (100) f 的值，把 f (x) 展成 x 的幂级数，由 ! ( ) 0 ( ) n f x a n n = ,则 100 x 的系数就是 100! (0) (100) f ，由此可求出 (0) (100) f 的值． L L L - + - - - - - + - + + - - - = + - - + - n x n n x x x ( ) ! ( 3)( 3 1) ( 3 1) ( ) 2! ( 3)( 3 1) 1 ( 3)( ) (1 ) 1 2 3 L +L + = + + × + + × n x n n x x ! ( 2)! 2 1 2! 4! 2 1 1 3 2 所以 3 3 (1 ) (1 ) 1 x x x - + - ( 1)( 2) ) 2 1 3 4 2 1 (1 3 = + x + × × x 2 +L+ n + n + x n +L ( 1)( 2) ) 2 1 3 4 2 1 ( 3 + x + x 2 + × × x 3 +L+ n + n + x n+1 +L =1+ 4x + 9x 2 +L+ n 2 x n-1 + (n +1) 2 x n +L 令 n = 100 则 2 (100) (101) 100! (0) = f , 所以 (0) 10201 (100)! (100) f = × 9．设a0 , a1 , a2 ,L为等差数列，( 0) a0 ¹ (1) 求级数 å ¥ n=0 n n a x 的收敛域；(2) 求 å ¥ n=02 n n a 的和S ． 解 ：（ 1 ） a a nd n = 0 + ， lim 1 1 = + ®¥ n n n a a 所 以 R = 1 ， 当 x = ±1 时，级数 成 为
作者：月浩2011年9月 三(”a。m4,≠0，因此发散，于是级数三a,的收敛域为(-山). 四三a,r"=三(a+ndr=三aor+d2mr”=S(+S,( s国-告s-豆m,设s,因-三m 6eh=新k=含r=-1,5闭a对 含r-s国合广0 在上式中令x=7得三2：=2a+2d=2a 10.设曲线x”+y°=1(>)在第一象限与坐标轴围成的面积为1(m),证明 (1)1m=2n0-Pyr2m-d: (2)∑1m)<4 证明：1)在1)=∫1-xr在中，令x=,则 1n)=2n0-)2-d (2)0s I(m)=2nf-fd=2nfd s2nf'(-P)Pd=2nf-yd ≤2h兴 注意区”=产<小，逐项球号为 豆ma州<：将x-代入试含是台国此 1 2m2票-号4 Page 43 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 43 of 49 n n n ( 1) a 0 å ± ¥ = lim ¹ 0 ®¥ n n a ， 因此发散，于是级数 å ¥ n=0 n n a x 的收敛域为(-1,1) ． (2) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 0 0 0 0 a x a nd x a x d nx S x S x n n n n n n n n å n = å + = å + å = + ¥ = ¥ = ¥ = ¥ = x a S x - = 1 ( ) 0 1 ， = å ¥ = - 1 1 2 ( ) n n S x xd nx ，设 = å ¥ = - 1 1 3 ( ) n n S x nx 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 0 3 - - ò = å ò = å = ¥ = ¥ = - x S x dx nx dx x n n n x x n ， 3 2 (1 ) 1 ( ) x S x - = å = + = ¥ = ( ) ( ) 1 2 0 a x S x S x n n n + - x a 1 0 2 (1 x) xd - 在上式中令 2 1 x = ，得 0 1 0 2 2 2 2 a d a a n n n å = + = ¥ = ． 10．设曲线 1 ( 1) 1 1 x + y = n > n n 在第一象限与坐标轴围成的面积为 I(n) ，证明 （1） I n n t t dt n n ò - = - 1 0 2 2 1 ( ) 2 (1 ) ； （2）å ¥ = < 1 ( ) 4 n I n ． 证明：（1）在 I n x dx n n ( ) (1 ) 1 0 1 ò = - 中，令 n x t 2 = ，则 I n n t t dt n 2n 1 1 0 2 ( ) 2 (1 ) - ò = - ． （2）0 £ I n n t t dt n 2n 1 1 0 2 ( ) 2 (1 ) - ò = - n t t t t dt n 1 2 2n 2 1 0 2 2 (1 ) (1 ) - - = - - ò n t t dt n 1 2n 2 1 0 2 2 (1 ) - - ò £ - n t t dt 2 n 1 1 0 2 2 [(1 ) ] - ò = - 1 1 1 0 4 2 ) 4 1 2 ( - - £ = ò n n n n dt ， 注意到 ( 1) 1 1 < - å = ¥ = x x x x n n ，逐项求导得 ( 1) (1 ) 1 2 1 1 < - å = ¥ = - x x nx n n ，将 4 1 x = 代入此式， 9 16 1 4 1 å = ¥ = - n n n ，因此 å å ¥ = ¥ = - £ = < 1 1 1 4 9 32 4 2 ( ) n n n n I n ．