作者：闫浩2011年9月 四、数项级数 1.meZ,m>0,计算，1 台n(n+m） 解：因为 11 1 11 1 mm+2+m+.N+N中. N+m) ,1,111 mN+1 N+1N+m 所以 为1 -Jim 1 n白1n(n+m）N→on1nn+m) ,1,1，,11 1 m N+1-N+2-N+m 2极数营，收敛当组仅当下列条件满是：》，=0.@含+0，收 n= 敛. 证明：必要性：因为lim S=lim∑a4存在，所以 n→∞k后 n-Sn-Sm-=5n-5n-1=0: lim S2n=lim Sn n-o0 n-→00 充分性：因为1imS2n=lim∑a%存在，且im4n=0,所以 k lim S2n+1=lim (S2n+uzn+1)=lim S2n+lim u2n+l=lim S2n. n-→0 n→0 n-0 n)00 n-o0 从而imSn存在。 3.设ma,=1.证明：若1<1则足 女o:若1>1，则级数2大收敏：者=1， n Page 28 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 28 of 49 四、数项级数 1． mÎ > Z m, 0 , 计算 1 1 n n( ) n m ¥ = + å ． 解：因为 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 (1 ) 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 1 1 N N n n n n m m n n m m m m N m m m N N N m m m N N N m = = = - + + = + + + + + + - + + + + + + + + + = + + - - - - + + + å å L L L L L L 所以 ) . 1 2 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 lim ( ) 1 lim ( ) 1 1 1 m m m m N N N m n n m n n m N n N N n = + + + ÷ ø ö ç è æ + - - + - + = + + + + - + = + ®¥ ¥ = ®¥ = å å L L L 2．级数 å ¥ n=1 un 收敛当且仅当下列条件满足：（1） lim = 0 ®¥ n n u ，（2） å ¥ = - + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收 敛． 证明：必要性：因为 1 lim lim n n k n n k S a ®¥ ®¥ = = å 存在，所以 lim = lim ( - 1 ) = lim - lim -1 = 0 ®¥ ®¥ - ®¥ ®¥ n n n n n n n n n u S S S S ； n n n n S S ®¥ ®¥ lim 2 = lim ． 充分性：因为 2 2 1 lim lim n n k n n k S a ®¥ ®¥ = = å 存在，且 lim = 0 ®¥ n n u ，所以 n n n n n n n n n n n S2 1 S2 u2 1 S2 u2 1 S2 lim lim ( ) lim lim lim ®¥ + ®¥ ®¥ + ®¥ + ®¥ = + = + = ， 从而 n n S ®¥ lim 存在． 3．设 lim n n a l ®¥ = ．证明：若l <1，则 å = +¥ ¥ =1 1 n an n ；若l > 1，则级数 1 1 n a n n ¥ = å 收敛；若l = 1
作者：月浩2011年9月 举例说明级数】可能收敛也可能发散 in% 正升因为原，=11，所以有在>0，当>M时，<=生<1 (2因为，4，=>1，所春在>0，当a>M时a>=生>1，这时 0<11 又差改改所以罗 (3)81 n→01 =1,且至上发散：公收敛，因为 n=1n 店而·r义飘分 1 左-女-后兰收 敛. 注：当1-1时，也可考患级数工-又受 之。要·共致散性餐粮于？，自 1+9 nnz→L. Inn 4.正项级数判敛： (1)2n2-1 n1n3+2n-1 发账购1县 m二1n n T Page 29 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 29 of 49 举例说明级数 1 1 n a n n ¥ = å 可能收敛也可能发散． 证明：（1）因为 lim = < 1 ®¥ a l n n ，所以存在 0 N1 > ，当 N1 n > 时， 1 2 1 1 < + < = l a q n ， 这时 1 1 1 a q n n n > ，又 å = +¥ ¥ = +1 1 1 1 n N q n ，所以 å = +¥ ¥ =1 1 n an n ． （2）因为 lim = > 1 ®¥ a l n n ，所以存在 0 N2 > ，当 N2 n > 时， 1 2 1 2 > + > = l a q n ，这时 2 1 1 0 a q n n n < < ，又 å ¥ = +1 2 2 1 n N q n 收敛，所以 å ¥ =1 1 n an n 收敛． （3） å ¥ =1 + 1 1 1 n n n 发散，因为 lim 1 1 1 = ®¥ + n n n n ，且 å ¥ =1 1 n n 发散； 1 1 2 ln 1 n n n ¥ + = å 收敛，因为 1 1 ln 1 ln ln 1 1 1 n n n ne n n n + = = g ，且广义积分 2 ln ln 2 ln 2 1 1 2 x x x x dx dx dx xe e e +¥ +¥ +¥ = = ò ò ò 收 敛． 注：当 l =1 时，也可考虑级数 å å + = n q q n n n n ln ln ln 1 1 (ln ) 1 ，其敛散性依赖于 q ，但 1 ln ln ln 1+ ® n q n ． 4．正项级数判敛： （1） å ¥ = + - - 1 3 2 2 1 1 n n n n ； 解：发散，因为 1 2 1 ( 1) lim 3 2 = + - - ®¥ n n n n n ，且 å ¥ =1 1 n n 发散． （2） å ¥ =1 + 2 ) 2 1 sin( n n p ； 解：收敛，因为 2 ) 2 1 lim sin( 2 2 p p = ®¥ n + n n ，且 å ¥ =1 2 1 n n 收敛．
作者：闫浩2011年9月 (3)3np n=2 Inn 解：当p<-1时，收敛：当p之-l时，发散 (4)(PIn(+2n * 6y”m 当p>0时，收敛：当p≤0时，发散. o片a0 品圆职1，用收数 (6)Σmm,其中r>0 解：当r21时，通项不趋向于零，发散：当0<r<1时，因为 2,0 3x2 6 服三如线 n=l w部 解： -台。0.级数收效 02: 解： 回an=烟，所以n充分大时nm>c0用产≤石产疗·级数收敛 Page 30 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 30 of 49 （3） å ¥ =2 ln n p n n ； 解：当 p < -1时，收敛；当 p ³ -1时，发散． （4） å ¥ = + + - + 1 2 ) 1 2 ( 1 ) ln(1 n p n n n n ； 解： 2 1 2 2 1 ) 1 2 ln(1 ( 1 ) 1 ) 1 2 ( 1 ) ln(1 p p p n n n n n n n n n + » + + + + = + + - + ， 当 p > 0时，收敛；当 p £ 0 时，发散． （5） +L ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ ´ ´ ´ + ´ ´ + 1 4 7 10 1 3 5 7 1 4 7 1 3 5 1 4 1 3 1 1 ； 解：因为 1 3 2 3 1 2 1 lim lim 1 = < + + = ®¥ + ®¥ n n a a n n n n ，所以收敛． （6） å ¥ n=1 n nr ，其中 r > 0 ． 解：当r ³ 1时，通项不趋向于零，发散；当0 < r < 1时，因为 0 ln 6 lim ln 3 lim lim lim 3 3 2 2 = - = - × = = - ®¥ ®+¥ - ®+¥ r - r ®+¥ r r x r x n nr x x x x x x n n ， 且 å ¥ =1 2 1 n n 收敛，所以 å ¥ n=1 n nr 收敛． （7） ln 2 (ln ) n n n n n ¥ = å ； 解： 2 ln ln ln lim lim lim 0 (ln ) ln ln n n n n n n n n n n n n e ®¥ n ®¥ n n ®¥ = = = ，级数收敛． （8） ln 2 1 (ln ) n n n ¥ = å ； 解： limln n n ®¥ = +¥ ，所以n 充分大时 2 ln n e > ， ln 2 ln 2 1 1 1 (ln ) ( ) n n n e n £ = ，级数收敛．
作者：月浩2011年9月 0h 。产e户，所以na>1时，即a>e时收敛，其它情形发散。 1 (10)1+a+ab+a2b+a2b2+ab2+.+ab+ab+.a,b>0 解：加括号成为级数(1+a)+(ab+a2b)+(ab2+d2b2)+.+(ab+a+b)+. =1+a）+ab1+a)+a2b1+a)+.+ab1+a)+., 这是几何级数，公比为b,所以ab<1时收敛，其它情形发散.我们知道正项级数收敛当 且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当b<1时收敛，其它情形发散 (11)已知∑a.(an>0)收敛，考查∑a2n的敛散 解：收敛： (12)sin'n ((p>0) ()(pi aw含la 5.一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛： ) n=I np 解：p≤0时发散：0<pS1时条件收敛：p>1时绝对收敛 (2)) l1+a” 解：d>1时绝对收敛：-1<a≤1时发散. w2-少-11 n+1四n Page 31 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 31 of 49 （9） ln 1 1 ( 0) n n a a ¥ = å > ； 解： ln ln ln ln 111 ( ) n a n a a e n = = ，所以ln 1 a > 时，即a e > 时收敛，其它情形发散． （10） 2 2 2 3 2 1 1 , 0 n n n n a ab a b a b a b a b a b a b + + + + + + +L L + + + > 解：加括号成为级数 2 2 2 3 2 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n n n a ab a b a b a b a b a b+ + + + + + +L L + + + 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n = + a + ab + a + a b + a +L L + a b a + + ， 这是几何级数，公比为ab ，所以 ab <1时收敛，其它情形发散．我们知道正项级数收敛当 且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当ab <1时收敛，其它情形发散． (11)已知 1 ( 0) n n n a a ¥ = å > 收敛，考查 2 1 n n a ¥ = å 的敛散 解：收敛； (12) 2 1 sin ( 0) ( 1) p p n n p n n ¥ = > + å (13) 1 ln (1 )n n p n n ¥ = å - (14) 1 1 n ln(n!) ¥ = å 5．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛： （1） å ¥ = - - 1 1 ( 1) n p n n ； 解： p £ 0 时发散；0 < p £ 1时条件收敛； p > 1时绝对收敛． （2） å ¥ = - + - 1 1 1 ( 1) n n n a ； 解： a > 1时绝对收敛；-1 < a £ 1时发散． （1） 1 100 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n ¥ - = - - + å ；
作者：闫浩2011年9月 解：-11=1.2 n+n (n+n ,由于Leibniz形级数 2-ra2-raw 都收敛，所以原级数收敛。 1111111 w1店*方a店方石. 解宫部‘且 1 房4级云-豆>0. 所以{S4n}单调递增。 又因为 51方*方店*方方石石* +n=4n后+4m-五 11 11 =1+店4石万同 1 1 1 n-4n-n-可4-4= <1+万 所以mS:存在 由an=0可知mSa1=lmSn+2=1imSa3=mSa,故级数收敛。 (5)a" 时回斗， 当d>1时发散： Page 32 of 49
作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 32 of 49 解： 100 100 100 1 1 1 2 1 ( 1) n n n n n n - = - + + ，由于 Leibniz 形级数 1 100 1 1 ( 1)n n n ¥ - = å - ， 1 100 1 1 ( 1) ( 1) n n n n ¥ - = - + å 都收敛，所以原级数收敛． （4） - + - + - + - +L 8 1 6 1 7 1 5 1 4 1 2 1 3 1 1 ； 解： 4 1 1 1 1 1 ( ) 4 3 4 1 4 2 4 n n k S = k k k k = - + - - - - å ，且 1 1 1 1 0 4k 3 4k 1 4k k 2 4 - + - > - - - ， 所以 4 { }n S 单调递增． 又因为 4 111 1 1 1 1 1 3 2 4 5 7 6 8 1 1 1 1 4 3 4 1 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 5 4 6 7 9 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4( 1) 1 4 3 4( 1) 4 2 4 1 4 1 1 2 n S n n n n n n n n n n = - + - + - + - + + - + - - - - = + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - < + L L 所以 4 lim n n S ®¥ 存在． 由 lim = 0 ®¥ n n a 可知 4 1 4 2 4 3 4 lim n lim n lim n n lim n n n n S S S S + + + ®¥ ®¥ ®¥ ®¥ = = = ，故级数收敛． （5） å ¥ n=1 p n n a ； 解：由于 1 lim ( 1) n p p n n a n a n a + ®¥ = + ，所以 当 a > 1时发散；