《数学分析》课程教学资源（习题讲解）10-11定积分广义积分

作者：闫浩2011年9月 二、定积分应用 keGa小，且>0.又Pa)=E0+g间，则F0=0a 上有惟一实根 证（定积分性质、连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导）因为f(x)∈C[a,b], 微F=后0a+60a创上可，且 F)=f+>0, 故F(x)在[a,b]上严格单增，又因为 Fa=8d<0,Fo=goh>0. 21 所以F(x)=0在[a,b]上有且只有一个实根. 2.设f(x)∈C(-o,+o),且f(x)=6f)d,则f(x)=0. 解因为f(x)∈C(-o,+o),且f(x)=6f)d,所以f(x)可导，且 f'"(x)=fx), 解得f(x)=Ce。 由于f0)-6f0)d=0,所以C=f0)=0,因此fx)=0. 3.设feC,则nfx+d=nft》d+nf(u)du. f(u) 解因为 (x)dnudunudu-inudu =In udu-fin udu+n udu, nudu(+dv=flr(u+Ddu. 所t以nfx+ih=n+la+6 gn(u)du. f(u) Page 9 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 9 of 49 二、定积分应用 1．设 f (x) ÎC[a,b]，且 f (x) > 0，又 = ò + ò x b x a dt f t F x f t dt ( ) 1 ( ) ( ) ，则 F(x) = 0 在[a,b] 上有惟一实根． 证（定积分性质、连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导） 因为 f (x) ÎC[a,b]， 所以 = ò + ò x b x a dt f t F x f t dt ( ) 1 ( ) ( ) 在[a,b]上可导，且 0 ( ) 1 ¢( ) = ( ) + > f x F x f x ， 故 F(x) 在[a,b]上严格单增，又因为 0, ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) = ò < = ò > b a a b dt F b f t dt f t F a ， 所以 F(x) = 0 在[a,b]上有且只有一个实根． 2．设 f (x) ÎC(-¥,+¥) ，且 = ò x f x f t dt 0 ( ) ( ) ，则 f (x) º 0． 解 因为 f (x) ÎC(-¥,+¥) ，且 = ò x f x f t dt 0 ( ) ( ) ，所以 f (x) 可导，且 f ¢(x) = f (x) ， 解得 x f (x) = Ce ． 由于 (0) ( ) 0 0 0 f = ò f t dt = ，所以C = f (0) = 0，因此 f (x) º 0． 3．设 f (x) Î C ，则 ò + ò + ò + = 1 0 0 1 0 ln ( ) ( ) ( 1) ln ( ) ln du f u du f u f u f x t dt x ． 解 因为 = ò - ò + ò ， ò + = ò = ò - ò + + + + = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 ln ln ln ln ( ) ln ln ln udu udu udu f x t dt udu udu udu x x x x x x x t u 且 ò = ò + = ò + = + + x x u v x udu v dv u du 0 0 1 1 1 ln ln( 1) ln( 1) ， 所以 ò + ò + ò + = 1 0 0 1 0 ln ( ) ( ) ( 1) ln ( ) ln du f u du f u f u f x t dt x ．

作者：月浩2011年9月 4.(积分型余项的泰勒公式)设f(x)∈C[a,b,那么任给x,x。∈[a,b],有 -套a-re- 特别的，在零点的展开可以写为 o-2P+r-ra =k! 5设)eC业+o且/闭+2V任1+证明函数f)在，+o) 上有界. 解当x21时，因为>(1+之，所以 +r产l1+30, f(x)= 1「万 即f(x)在l,+o)上单增 又因为 其中M是一个确定的正数，所以，当x之1时 -0-0a≤告=2M-22w. 故f(x)在，+o)上有界. 6.(Riemann-Lebesgue引理） (1)f(x)eC[a,b.证明： lim(coim()sinxd (2)f(x)eRa,bl.证明： im()cosim()sinxd0 7.设f(x)在[0，+o)上连续，对任何的a>0,求证： Page 10 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 10 of 49 4．（积分型余项的泰勒公式）设 1 ( ) [ , ] n f x C a b + Î ，那么任给 0 x, x Î[a b, ] ，有 0 ( ) 0 ( 1) 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ! ! n k x k n n x k f x f x x x f t x t dt k n + = =å - + - ò 特别的，在零点的展开可以写为 ( ) 1 1 ( 1) 0 0 (0) ( ) ( )(1 ) ! ! n k n k n n k f x f x x f xt t dt k n + + = =å + - ò 5．设 ( ) [1, ) 1 f x ÎC +¥ 且 ú û ù ê ë é - + + ¢ = ) 1 ln(1 1 1 ( ) 1 ( ) 2 f x x x f x ，证明函数 f (x) 在[1,+¥) 上有界． 解 当 x ³ 1时， 因为 ) 1 ln(1 1 x x > + ，所以 ) 0 1 ln(1 1 1 ( ) 1 ( ) 2 ú > û ù ê ë é - + + ¢ = f x x x f x ， 即 f (x) 在[1,+¥) 上单增． 又因为 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln(1 ) ln(1 ) 1 ( ) 1 M f x f x x x x x x x x x é ù ¢ = ê ú - + £ - + £ - £ + + ë û ， 其中M 是一个确定的正数，所以，当 x ³ 1时 1 1 1 ( ) (1) ( ) 2 (1 ) 2 x x M f x f f t dt dt M M t t x - = ¢ £ = - < ò ò ， 故 f (x) 在[1,+¥) 上有界． 6．（Riemann-Lebesgue 引理） （1） 1 f (x)ÎC [a b, ]。证明： lim ( ) cos 0, lim ( )sin 0 b b a a f x xdx f x xdx l l l l ®¥ ®¥ = = ò ò （2） f (x)Î R[a b, ] . 证明： lim ( ) cos 0, lim ( )sin 0 b b a a f x xdx f x xdx l l l l ®¥ ®¥ = = ò ò 7．设 f x( ) 在[0, ) +¥ 上连续，对任何的a > 0 ，求证：

作者：闫浩2011年9月 fdns=fa-ds 2)x0达=x) &求强限子产字达，共中国eG-训：②)一他 h 解 (1*) 男分字只h h +原R恤+品6R恤 网r6产+-：源n+局后 =黑6aam5+G,adam。+偏G,actm =0+寸(0)+0=f(0)。 (2)因为任给x>0,存在n≥0，使得nπ≤x≤(n+1)π，所以 5n恤s5sn地ssm地 (n+1)π 由于snt=nsnt=2nsmt=(n+1n[sndt=2n+, 从而 2nssn地s2n+D, (n+1)x nπ 因此 9.设f(x)在[0，上连续且大于零，求证 (1)存在x。∈(0，)，使得在区间0，]上以fx)为高的矩形面积S等于在区间 [xo,】上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积S2: (2)若f)在0，内可号，并且>-2①，则1D中的x是惟一的. X 证明（连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导） Page 11 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 11 of 49 （1） 0 0 0 ( ( ) ) ( )( ) a x a f t dt dx = - f x a x dx ò ò ò （2） 2 0 0 0 1 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) 2 a x a f x f y dy dx = f x dx ò ò ò 8．求极限 （1 *） f x dx h x h h lim ( ) 1 1 2 2 0 ò + - ® + ，其中 f (x) ÎC[-1,1]；（2） x t dt x x ò ®+¥ 0 sin lim ． 解 （1 *） f x dx h x h f x dx h x h f x dx h x h f x dx h x h h h h h h h h h lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1 2 2 0 2 2 0 1 2 2 0 1 1 2 2 0 ò + ò + + + ò + ò = + + + + + ® - ® - - ® - ® 0 (0) 0 (0)。 lim ( ) arctan lim ( )arctan lim ( )arctan lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1 3 0 2 0 1 1 0 1 2 2 3 0 2 2 2 0 1 2 2 1 0 f f h x f h x f h x f dx h x h dx f h x h dx f h x h f h h h h h h h h h h h h h h p p x x x x x x = + + = = + + ò + ò + + ò + + = + + + + + + ® - ® - - ® ® - ® - - ® （2） 因为任给 x > 0，存在n ³ 0，使得 np £ x £ (n +1)p ，所以 p p p p n t dt x t dt n t dt n x n ò £ ò £ + ò ( +1) 0 0 0 sin sin ( 1) sin ， 由于 sin sin 2 , sin ( 1) sin 2( 1) 0 ( 1) 0 0 0 = = = + = + ò ò ò ò + t dt n t dt n t dt n t dt n np p n p p ， 从而 p np n x t dt n n x sin 2( 1) ( 1) 2 0 + £ ò £ + ， 因此 p sin 2 lim 0 = ò ®+¥ x t dt x x ． 9．设 f (x) 在[0,1]上连续且大于零，求证： （1）存在 (0,1) x0 Î ，使得在区间[0, ] 0 x 上以 ( ) 0 f x 为高的矩形面积 1 S 等于在区间 [ ,1] 0 x 上以 y = f (x) 为曲边的曲边梯形面积 2 S ； （2）若 f (x) 在(0,1) 内可导，并且 x f x f x 2 ( ) ¢( ) > - ，则（1）中的 0 x 是惟一的． 证明 （连续函数的零点存在定理、变限定积分的求导）

作者：月浩2011年9月 (1)令F(x)=f(x)-f)d,则F(x)在0，】上连续，且 FO)=-bfu)d<0,F)=f0>0, 所以存在x0∈(0,1)，使得F(xo)=0,即 xof(xo)=f()dt 故S1=S2 (2)当f(x)在(0,1)内可导时，F(x)=x(x)-f(u)d也在(0,1)内可导，且 F'(x)=2fx)+xf"(x). 因为fx>-2,所以F')=2f+<0x∈O,即F在0]上 严格单减，故其零点惟一。 10.设函数f(x)在0，a上连续可导、单增，f(0)=0,证明 (ds+ydy=af(a). 证明（函数等式的证明，变限定积分函数的导数，定积分的换元积分公式，定积分的几何 意义) 法-令F四=f+一'o-.ue0.a小 F'(u)=f(u)+f(u)f(f(u))-f(u)-uf'(u)=0,ue[0.a]. 又F0)=0, 所以F()=0,u∈[0，ad, 故f+o-o=afa. 法二因为 or一'ds =xf(x)8-f(x)dx af(a)-f(x)dx 所以fx+Ofo=a. Page 12 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 12 of 49 （1）令 = - ò 1 ( ) ( ) ( ) x F x xf x f t dt ，则 F(x) 在[0,1]上连续，且 (0) ( ) 0, (1) (1) 0 1 0 F = -ò f t dt < F = f > ， 所以存在 (0,1) x0 Î ，使得 ( ) 0 F x0 = ，即 = ò 1 0 0 0 ( ) ( ) x x f x f t dt ， 故 1 2 S = S ． （2）当 f (x) 在(0,1) 内可导时， = - ò 1 ( ) ( ) ( ) x F x xf x f t dt 也在(0,1) 内可导，且 F¢(x) = 2 f (x) + xf ¢(x)． 因为 x f x f x 2 ( ) ¢( ) > - ，所以 F¢(x) = 2 f (x) + xf ¢(x) < 0 (x Î (0,1)) ，即 F(x) 在[0,1]上 严格单减，故其零点惟一． 10．设函数 f (x) 在[0, a]上连续可导、单增， f (0) = 0 ，证明 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 证明 （函数等式的证明，变限定积分函数的导数，定积分的换元积分公式，定积分的几何 意义） 法一 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 F u f x dx f y dy uf u u f u = + - ò ò - ，u Î[0, a]， 则 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0, [0, ] 1 F¢ u = f u + f ¢ u f f u - f u - uf ¢ u = u Î a - ， 又 F(0) = 0 ， 所以 F(u) = 0, u Î[0, a] ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 法二 因为 = - ò = - ò ， ò = ¢ ò = - a a a a y f x f a xf x f x dx af a f x dx f y dy xf x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ．

作者：闫浩2011年9月 法三 如图，根据定积分的几何意义，D1的面积为6f(x)k,D2的面积为一y)d, 矩形D的面积为a(a),所以 d+daf(a). 11.设I是一个开区间，f(x)eC(I),a,beI,a<b, 求证：四+-四=-a h 12.设f)在0，上连续，在(0，)内可导，且满足后c0s2x)=0,证明：至 少存在一点5∈(0，)，使得f"(传)=2f传)tan5 证首先由∫2cos2xfx)d=0,则3x∈(0，)，使得c0s2x,fx)=0, 但cosx≠0，→f(x)=0. 取辅助函数p()=c0s),则p()在0，上连续，在(0，)内可导，且 p(,)=0,p(5=0,因此35∈(x,7)c0,使得 )=-2sinEcosf(E)+cos2f()=0. 即有f'(传)=2f(5)tan5. 13.已知函数f(x)在0，]上导数存在，且当x∈(0,1)时，0<∫'(x)<1,f(0)=0,证 明Cfx)>Uxdk 证法1令F(x)=[f)d-[fdh,则F(x)在[0，上可导，且 Page 13 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 13 of 49 法三 如图，根据定积分的几何意义，D1的面积为ò a f x dx 0 ( ) ，D2的面积为ò ( ) - 0 1 ( ) f a f y dy ， 矩形 D 的面积为af (a) ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 f x dx f y dy af a a f a + = ò ò - ． 11．设 I 是一个开区间， f (x)ÎC(I),"a, , bÎ < I a b， 求证： 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) b h a f x h f x dx f b f a ® h + - = - ò . 12．设 f (x) 在 [ , ] 2 0 p 上连续，在( , ) 2 0 p 内可导，且满足 0 2 0 2 × = ò cos x f (x) dx p ,证明:至 少存在一点 ( , ) 2 0 p x Î ，使得 f ¢(x ) = 2 f (x )tanx . 证 首先由 0 2 0 2 × = ò cos x f (x) dx p ，则 ( , ) 2 0 0 p $x Î ，使得 0 0 0 2 cos x f (x ) = ， 但 0 0 cos x0 ¹ ,Þ f (x0 ) = ． 取辅助函数 (x) cos xf (x) 2 j = ，则 j(x) 在 [ , ] 2 0 p 上连续，在 ( , ) 2 0 p 内可导，且 0 2 0 ( 0 ) = , ( ) = p j x j ，因此 ( , ) ( , ) 2 0 2 0 p p $x Î x Ì ，使得 2 0 2 j¢(x ) = - sin x cosxf (x ) + cos xf (x ) = ， 即有 f ¢(x ) = 2 f (x )tanx . 13．已知函数 f (x) 在[0,1]上导数存在，且当 x Î (0,1) 时，0 < f ¢(x) < 1， f (0) = 0 ，证 明 ò ò > 1 0 2 3 1 0 [ f (x)dx] [ f (x)] dx ． 证法 1 令 ò ò = - x x F x f t dt f t dt 0 2 3 0 ( ) [ ( ) ] [ ( )] ，则 F(x) 在[0,1]上可`导，且 a f(a) D1 D2 D y=f(x)