3)1f(z)=lim w-wol lim △w 称为曲线C在z的伸缩率 2→20 z-z0 →0|△2 上式表明f(z是两象点间距离和两原象点间距离比 值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点zo处沿曲线C的伸 缩率，它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有 伸缩率不变性 上式可视为f(2)-f('(儿- ∫'(>1，表示从z出发的任一无穷小距离伸长； f(o)<1,表示从z田发的任一无穷小距离缩短； ∫'(2)=1，表示从z出发的任一无穷小距离不变
11 3) 称为曲线C在z0的伸缩率. 上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比 值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸 缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有 伸缩率不变性. 上式可视为 f z f z f z z z ( ) − − ( 0 0 0 ) ( ) f z ( 0 ) 1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离伸长； f z ( 0 ) 1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离缩短； f z ( 0 ) =1 ,表示从 0 z 出发的任一无穷小距离不变。 | | | | lim | | | | | ( )| lim 0 0 0 0 z w z z w w f z z z z D D = − − = → D →
例1求w=fz)=z3在=0，i处的导数值，并说明几何意义。 解：w=fz)=z3在全平面解析，f(z)=3z2。 1)f'(i)=3i2=-3=3π在z=i处具有伸缩率不变和保角性。 伸缩率为3，旋转角为π。 2)f'(0)=0,f()z在z=0处显然不具有保角性。 定理一设函数w=f(z)在区域D内解析，为D内的一点，且 f'(2o)≠0，则映射w=f(z)在z具有两个性质： 1)保角性.即通过z的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。 2)伸缩率的不变性.即通过z的任何一条曲线的伸缩率均 为f'z而与其形状和方向无关
12 例1 求w= f(z)=z 3 在 z=0, z=i 处 的导数值,并说明几何意义。 解： w= f(z)=z 3在全平面解析， f '(z)=3 z 2 。 ( ) 2 1 3 3 3 i f i i e ） = = − = 在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。 伸缩率为3，旋转角为 。 2) 0 0, 0 f f z z ( ) = = ( ) 3 =z 在 处显然不具有保角性。 定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f '(z0 )0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质: 1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。 2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f '(z0 )|而与其形状和方向无关
定理一的几何意义. (2) /W0 X u 在D内作以为其一个顶点的小三角形，在映射下，得到一 个以w为其一个顶点的小曲边三角形，这两个三角形对应 边长之比近似为f'(儿，有一个角相等，则这两个三角形近 似相似
13 在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一 个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应 边长之比近似为|f '(z0 )|, 有一个角相等, 则这两个三角形近 似相似. O x y O u (z) v (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2 定理一的几何意义
↑y (z) (w) O X u 翁幸1：二此秀折庆= 也将很小的圆|z-z。=近似地映射成圆 |w-w=f'(zo)1δ
14 O x y O u v (z) (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2 | | | ( )| . | | ( ) | | | | | ( )| 0 0 0 0 0 w w f z z z w f z z z w w f z − = − = = − − 也将很小的圆 近似地映射成圆 伸缩率 由此看出映射
2.共形映射的概念 定义设函数w=f(z)在zo的邻域内是一一的，在zo具有保 角性和伸缩率不变性，则称映射w=f()在z是保形的，或 称w=f(z)在zo是共形映射.如果映射w=f()在D内的每 一点都是保形的，就称w=f(z)是区域D内的共形映射 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保 形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而 旋转方向相反的映射称为第二类共形映射。 例如w=z是第二类共形映射
15 2. 共形映射的概念 定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具有保 角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或 称w = f (z)在z0是共形映射. 如果映射w = f (z)在D内的每 一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的共形映射. 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保 形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而 旋转方向相反的映射称为第二类共形映射。 例如 w z = 是第二类共形映射