北京大学：《概率统计》课程教学资源 Probstathsy（各章讲义，共九章）

i概率统计讲义2016

i 概率统计讲义 2016

目录第一章古典概型和概率空间331.1试验与事件71.2古典概型与几何概型71.2.1古典概型1.2.2几何概型14151.3概率的公理化和加法公式1.3.1概率的公理化151.3.2概率的加法公式，171.3.3概率的连续性181.4条件概率和乘法公式181.5事件的独立性211.6全概率公式与Bayes公式241.6.1全概率公式241.6.2Bayes公式281.7概率与频率3033第二章随机变量和概率分布2.1随机变量332.2离散型随机变量352.3连续型随机变量43概率分布函数512.42.4.1概率分布函数512.4.2常见分布的分布函数542.5随机变量函数的分布56第三章随机向量及其分布633.1随机向量及其联合分布633.2离散型随机向量及其分布65

目录 第一章 古典概型和概率空间 3 1.1 试验与事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 古典概型与几何概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 古典概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 几何概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 概率的公理化和加法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 概率的公理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 概率的加法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 概率的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 条件概率和乘法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 事件的独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 全概率公式与 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.1 全概率公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.2 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7 概率与频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 第二章 随机变量和概率分布 33 2.1 随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 离散型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 连续型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 概率分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 概率分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 常见分布的分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 随机变量函数的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 第三章 随机向量及其分布 63 3.1 随机向量及其联合分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 离散型随机向量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

目录连续型随机向量及其分布683.33.4随机向量函数的分布753.5极大极小值的分布813.6条件分布和条件密度.84第四章91数学期望和方差数学期望914.1.4.1.1数学期望概念914.1.2常见分布数学期望964.2数学期望的性质99.4.2.1随机向量函数的数学期望994.2.2数学期望的性质.1024.3随机变量的方差1064.4协方差和相关系数.115第五章119多元正态分布和极限定理5.1多元正态分布119大数律5.2.1235.3中心极限定理.126描述性统计131第六章6.1总体和参数.1316.2抽样调查方法.1336.3用样本估计总体分布..1416.4众数和中位数..1486.5随机对照试验.152第七章参数估计1597.1点估计和矩估计1597.2最大似然估计.1667.2.1离散型随机变量的情况：.1667.2.2连续型随机变量的情况1687.3抽样分布及其上分位数..1737.3.1抽样分布.1747.3.2抽样分布的上Q分位数179正态总体的区间估计1827.4....已知时，μ的置信区间.1837.4.17.4.2未知时μ的置信区间185

目录 3.3 连续型随机向量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4 随机向量函数的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5 极大极小值的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 条件分布和条件密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 第四章 数学期望和方差 91 4.1 数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 数学期望概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 常见分布数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2 数学期望的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 随机向量函数的数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.2 数学期望的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 随机变量的方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 协方差和相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 第五章 多元正态分布和极限定理 119 5.1 多元正态分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 大数律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3 中心极限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 第六章 描述性统计 131 6.1 总体和参数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 抽样调查方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 用样本估计总体分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 众数和中位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.5 随机对照试验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 第七章 参数估计 159 7.1 点估计和矩估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2 最大似然估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.1 离散型随机变量的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.2 连续型随机变量的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.3 抽样分布及其上 α 分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.3.1 抽样分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.3.2 抽样分布的上 α 分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.4 正态总体的区间估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.4.1 已知 σ 时, µ 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.4.2 未知 σ 时 µ 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

目录7.4.3方差的置信区间.1877.4.4均值差μ1-的置信区间.1897.4.5方差比/的置信区间.191..1917.4.6单侧置信区间：.1927.5非正态总体和比例P的置信区间7.5.1正态逼近法.1927.5.2比例p的置信区间.194第八章假设检验1978.1假设检验的概念.1978.2正态均值的假设检验.201:.2018.2.1已知时，H的正态检验法8.2.2p值检验法:.2038.2.3未知时，均值μ的t检验法.2048.2.4未知时，μ的单边检验法:.2058.2.5正态近似法.208样本量的选择.2098.38.4均值比较的检验.210已知，时，μ,2的检验8.4.1:.211...2138.4.2未知,,但已知=时，一μ的检验成对数据的假设检验2148.4.3J8.4.4未知,时,μ1,μ2 的检验.2168.5方差的假设检验：.217比例的假设检验：2198.6小样本情况下的假设检验：.2198.6.1.8.6.2大样本情况下单个比例的假设检验.2218.6.3大样本情况下两个总体比例的比较.2248.7总体分布的假设检验.227233第九章线性回归分析数据的相关性.2339.19.1.1样本相关系数.2349.1.2相关性检验.2369.2回归直线2389.3一元线性回归.242最大似然估计和最小二乘估计.2439.3.19.3.2平方和分解公式.247

目录 7.4.3 方差 σ 2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.4.4 均值差 µ1 − µ2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4.5 方差比 σ 2 1/σ 2 2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.6 单侧置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.5 非正态总体和比例 p 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5.1 正态逼近法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5.2 比例 p 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 第八章 假设检验 197 8.1 假设检验的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.2 正态均值的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.1 已知 σ 时, µ 的正态检验法 . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.2 p 值检验法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2.3 未知 σ 时, 均值 µ 的 t 检验法 . . . . . . . . . . . . . . 204 8.2.4 未知 σ 时, µ 的单边检验法 . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.5 正态近似法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3 样本量的选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.4 均值比较的检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.4.1 已知 σ 2 1 , σ 2 2 时, µ1, µ2 的检验 . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4.2 未知 σ 2 1 , σ2 2 , 但已知 σ 2 1 = σ 2 2 时, µ1 − µ2 的检验 . . . . 213 8.4.3 成对数据的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.4.4 未知 σ 2 1 , σ2 2 时, µ1, µ2 的检验 . . . . . . . . . . . . . . 216 8.5 方差的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.6 比例的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.6.1 小样本情况下的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.6.2 大样本情况下单个比例的假设检验 . . . . . . . . . . . 221 8.6.3 大样本情况下两个总体比例的比较 . . . . . . . . . . . 224 8.7 总体分布的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 第九章 线性回归分析 233 9.1 数据的相关性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.1.1 样本相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.1.2 相关性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.2 回归直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 一元线性回归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3.1 最大似然估计和最小二乘估计 . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.2 平方和分解公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

目录斜率b的检验9.3.3.2489.3.4预测的置信区间-249中9.4多元线性回归.251...9.4.1最小二乘估计.2529.4.2回归显著性检验·.253单个系数的显著性检验9.4.3254残差诊断9.4.4.255

目录 9.3.3 斜率 b 的检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.3.4 预测的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.4 多元线性回归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.4.1 最小二乘估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.4.2 回归显著性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.4.3 单个系数的显著性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.4.4 残差诊断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255