江画工太猩院 二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数z=∫(x,y)在点 (,可微分,则该函数在点()的偏导数 必存在,且函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全微分 为 =。△x+。4y
江西理工大学理学院 二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数z = f (x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 x z ∂ ∂ 、 y z ∂ ∂ 必存在，且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微分 为 y y z x x z dz ∆ ∂∂ ∆ + ∂∂ = ．
江画工太猩院 证如果函数z=∫(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+BAy+0(p)总成立 当y=0时,上式仍成立,此时p=△xl, f(x+△x,y)-f(x,y)=AAx+o(△r|), lim f(x+ Ax, )-f(,)=4=Oz ax 同理可得B= y
江西理工大学理学院 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P′( x + ∆x, y + ∆y)∈P的某个邻域 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ) 总成立, 当∆y = 0时，上式仍成立，此时ρ =| ∆x |, f (x + ∆x, y) − f ( x, y) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |), A x f x x y f x y x = ∆ + ∆ − ∆ → ( , ) ( , ) lim 0 , x z ∂ ∂ = 同理可得 . y z B ∂ ∂ =
江画工太猩院 一元函数在某点的导数存在<今微分存在 多元函数的各偏导数存在<今全微分存在 +y2≠0 y 例如,f(x,y)={√x2+y x2+y2=0 在点(0,0)处有 ∫(0,)=f1(0,0)=0
江西理工大学理学院 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + x y x y x y xy f x y 在点 ( 0 , 0 )处有 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0
江画工太猩院 x·△ A-(0,0). Ax+f,(0,0) Ay= y (△x)2+(△y) 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △·△ 则(△2+(Ay))+(Ax2? △·△r1 说明它不能随着ρ→0而趋于0,当p→0时, Az-(0,0)△x+f1004l≠op) 函数在点(0,00不可微
江西理工大学理学院 z [ f (0,0) x f (0,0) y] ∆ − x ⋅ ∆ + y ⋅ ∆ , ( ) ( ) 2 2 x y x y ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ = 如果考虑点P′(∆x,∆y)沿着直线 y = x趋近于(0,0)， 则 ρ 2 2 ( x) ( y) x y ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ 2 2 ( x) ( x) x x ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ = , 2 1 = 说明它不能随着ρ → 0而趋于 0, 当 时， ρ → 0 z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(ρ ), ∆ − x ⋅ ∆ + y ⋅ ∆ ≠ 函数在点(0,0)处不可微
江画工太猩院 说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(充分条件)如果函数z=∫(x,y)的偏 导数 在点(x,y)连续,则该函数在点 (x,y)可微分 证△z=f(x+△x,y+4y)-f(x,y) =f(x+Δx,y+Δy)-∫(x,y+Ay)l [∫(x,y+Δy)-∫(x,y)
江西理工大学理学院 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z ∂ ∂ 、 y z ∂ ∂ 在点( x, y)连续，则该函数在点 ( x, y)可微分． 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]