定理15.1若级数 l+80a,l+b, 2 n=1 收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 证对任何实数x,由于 la cosnx+b sinnx fa+b 根据优级数判别法，就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函 数系（⑤）的特性.首先容易看出三角级数系（⑤）中所
前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
有函数具有共同的周期2π. 其次，在三角函数系（⑤）中，任何两个不相同的函数 的乘积在【-pp上的积分等于零，即 cosuxdx-.sinmxdx-0, (6) 8.cosmxcosnxdx=0 (mn) 6.sinmxsin nxdx=0 (mn),y (7) ò，cosm.x sin n.xdx=0. 而（⑤）中任佰一个函数的平方在【元，业的织分都
前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都
不等于零，即 cos'ndx-sinxdx (8) ò21dr=2π 若两个函款J与y在[，b]上可织，且 0((x)r=0 则)与Jy在[M,b]上是正立的，或在[M,b]上具有正 立性.由此三角函数系(4)在【π，π上具有正交性. 或者说⑤)是正交函数系
前页 后页 返回 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系
二、以2D为周期的函数的傅里叶级数 现应用三角函数系（⑤）的正交性来讨论三角级数(4) 的和函散f与级敖(4)的系数40,4n,bn之向的关系. 定理15.2若在[-元，元]上 f()(a,cosnx+b,sinnx) (9) 2 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： 4,-↓6.f(osmd,a=0.12， (10a) b-1.f()sinnxdx,n=1.2.L (10b) 前
前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理15.2 若在[-π,π]上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数
证的定理条件，函款f在pp]上连续且可织.对 (9)式逐项积分得 f(xx d(cosin nade) = n=] 由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零 所以 f(x)dx42a, 2 前项
前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以