§2一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要， 前页
前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回
定理13.8（极限立换定理)设函数列{fn}在 (a,xo)U(xo,b)业一致收做于f(x),且对年个n, Iimf,()=an,则iman和imf(x)均存在且相等.即 n®￥ x®x lim limf (x)=lim lim f (x). (1) x®xon®￥ ®￥x®o 证先证{un}是收做散列.对径意e>0,由于{fn}一 致收敛，故存在正整数N,当>N及任意正整数p, 对一切xi(a,)U(x,b)有 If(x)-f(x)e. 前页
前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 在 上一致收敛于 , 且对每个 n, 即 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 有
从而|an-an+p=lim|fn(x)-fmp(x)Ee. x®Xo 子是由柯西准则可知{a,}是收做散列，设lima=A, n®￥ 即lim limf(x)=A, n®￥x®x, 下面证明limf(x)=lim limf(x)=A. x®on®Y 注意到 If(x)-Al Elf(x)-fv(x)+(x)-ava-4l 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 前
前页 后页 返回 从而 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 即 下面证明 注意到 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可
If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-av+aN-Al 由于f,(x)一致收敛于f(x),n收做于A,因此对在 意e>0,存在正散N,岁n>N时，对径意xi(a,x) U(x,b),有 f)f水号和1，A水号 同时成立.特别当n=N+1时，有 1)-f外水号和aA小水号 前页
前页 后页 返回 由于 一致收敛于 ， 收敛于 , 因此对任 同时成立. 特别当 时, 有 , 有 , 存在正数 , 当 时, 对任意
If(x)-Af(x)-fv(x+(x)-a+aN-A 又因为lim fv1(x)=av1,故存在d>0,当 x®X0 0可x,Kd时，也有fn)-a水写 这样，当x满足0<x-x<d时， If(x)-AElf(x)-(x+v(x)-a 2=e, 这就证明了limf(x)=A
前页 后页 返回 又因为 故存在 , 当 时,也有 这就证明了