§1一致收敛性 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性 设 f,fL,fL (1) 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 {fn}或fn,n=1,2,L. 以x1E代入1)，可得数列 f(xo),f2(xo),L f(xp),L (2) 前
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列
如果数列(2)收致，则称函数列(1)在点x收做，x称 为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散，则称函数 列(1)在点x发散.省函数列()在数集DIE业年一 点都收敛时，就称(1)在数集D上收敛.这时D上每 一点x都有数列{f(x)}的一个极限值与之相对应， 根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数 列(1)的极限函数.若将此极限函数记作∫则有 limf,(x)=f(x),xI D ®￥ 前
前页 后页 返回 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
或 fn(x)®f(x)(n®￥)，xiD. 函数列极限的e-N定义：对年一固定的xID,任 俗正款e,总存在正数N(注意：一般缆耒N值与e和 x的值都有关，所以有时也用N(,x)表示三者之向 的依赖关系)，使当n>N时，总有 If(x)-f(x)e. 使函散列{∫}收做的全体收敛点集合，称为函散列 {fn}的收做域. 前预
前页 后页 返回 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 的收敛域
例1设f(x)=x”,n=1,2,L为定义在(-￥，￥)上的 函数列，证明它的收敛域是(1，且有极限函数 f(x)=i 0,1xK1, 1,x=1. 证任给e>0(不妨设e<1),当0<x|<1时，由于 |fn(x)-f(x)Hx”, 只要取Ue,- ne,当n>Ne,x)时，就有 If,(x)-f(x)x"<x=e. 前过
前页 后页 返回 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证