§3收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理，为此 先证明两个预备定理， 预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）若函数f在 π，可积，则 cd. (1) 其中an,b,为f的傅里叶系数.()式称为贝塞尔不等 式 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此 先证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [ , ] − 可积, 则 − = + + 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式
证令 S(a.cosbsin) m 2 考察积分 If(x)-S()Tdx =∫f(x)dc-2fx)sne)de+∫Sac)dc.(2) 由于 fes.xdr=2∫fde 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + + 考察积分 − − π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x − − − = − + π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x − − = 由于
o(x)cosmedx+b.()sinmxdx) 根据傅里叶系数公式（§1(10）)可得 ()5.(e-) (3) 对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性，有 ∫S%(x)d 受+2a成+6n dx 前页 后页 返回
前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x − − = + + 根据傅里叶系数公式(§1(10))可得 − = = + + π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有 − π 2 π S x x m ( )d − = = + + 2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x
ds inmte +r2(+) 21 (4) n=1 将3)，(4)代入(2)，可得 0≤」[f()-Sne'de -w-5-立d酸 m n=] 因而 前页 后页 返回
前页 后页 返回 − − − = = + + 2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b = = + + 将(3), (4)代入(2)，可得 − − π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x − = = − − + 2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而
ie的1 -fI/OFdw. 它对任何正整数m成立而∫【f)c为有限值， 所以正项级数 n=1 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式(1)成立. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 − = + + 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而 − π 2 π 1 [ ( )] d π f x x 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b = + + 的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立