*§2上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下 册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所 考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上 极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课 程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具， 一、上（下）极限的基本概念 二、上（下）极限的基本性质 前页 巡回
前页 后页 返回 *§2 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回
一、上（下）极限的基本概念 定义1若数列{xm}满足：在数xo的任何一个邻域 内均含有{xn}中的无限多项，则称x,是数列{xn} 的一个聚点 注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于： 前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无 限多个项”.现举例如下： 常数列(a,·)只有一个聚点：a 前
前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 满足: 在数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项” . 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点” , 后者要求 “含有无
{(1)”}作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点； 但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1. 数列{sin7}有五个聚点：-1，V2/2,0,V2/2,1. 从数列聚点的定义不难看出，x是数列{x}的聚 点的一个充要条件是：存在{xm}的一个子列{xm, xu®o,k®￥. 定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大 聚点和最小聚点
前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 数列 有五个聚点: 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 聚点和最小聚点
证设{x}为有界数列，由致密性定理，存在一个 收敛子列{x,},x®x(k®￥)，于是x是{xn 的一个聚点 又设E={x|x是{xm}的聚点}，由于E非空有界， 故由确界原理，存在 A=sup E,A=inf E. 下面证明A是{xn}的最大聚点，亦即AE. 首先，由上确界的性质，存在a,1E,使an®A. 前页
前页 后页 返回 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 的一个聚点. 收敛子列 于是 首先, 由上确界的性质, 存在 使
因为a,是{xn}的聚点，所以对任意正数e,在区间 (a;~e,a;+e)内含有{xn}的无限多项.现依次令 e1=1,存在xm,使xm~411; 62存在%>使4小 ●●●●●●●●●●● 存在，a>山使。a小人
前页 后页 返回 存在 使 存在 使 的无限多项. 现依次令 存在 使 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间