§2无穷积分的性质及收敛判别 本节讨论无穷积分的性质，并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 前页 后
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一、无穷积分的性质 定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分 O,f(x)dr收敛的充要条件是："e>0,SG3a, 当41,42>G时， d-òfx)ds-f()dx, 证设F(u）=Of(x)dr,ui[a,+￥)，则òf(x)dr 收敛的充要条件是存在极限limF(w).由函数 极限的柯西准则，此等价于 前①
前页 后页 返回 收敛的充要条件是: 一、无穷积分的性质 证 极限的柯西准则,此等价于 定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
"e>0,$G>a,"4,42>G,F(4)-F(u)<e, 即 f()dsf()df()dse. 根据反常积分定义，容易导出以下性质1和性质2. 性质1若ò。f(e)dr与O,f()dr都收敛，k,k, 为任意常数，则 ò，(kfx)+k,f(x) 也收敛，且
前页 后页 返回 性质1 为任意常数,则 即 根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2
ò，(kf()+k,f()d ki0()dx+k2(x)dx. 性质2若f在任何有限区间[a,d上可积，则 ò，fx)dr与O,f(ydr("b>a), 同时收敛或同时发散，且 f(x)dx-of(x)dx f(x)dx. 前
前页 后页 返回 性质2
例1若f(x)￡h(x)￡g(x),xi[a,+￥)，f(c),g(s), hx)在任意[a,W上可积，且 òf(a)de和O,g)dr 都收敛，则Oh(x)dr收敛， 证因为 O,fx)dr和òg(x)dr 收敛，由柯西准则的必要性， "e>0,SG>a,"41>u2>G
前页 后页 返回 h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且 证 因为 收敛,由柯西准则的必要性, 例1 若 , f (x), g (x)