§3一般项级数 由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题 要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克香判别法 前 了
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 41-42+43-44+L+(-1)"wn+L (1) (um>0,n=1,2,), 则称为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足： ()数列{wn}单调递减； (ii)limu,=0, n®￥ 则级款()收做
前页 后页 返回 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: 则级数(1)收敛
证考察交错级数()的部分和数列{S),它的奇数项 和偶数项分别为 S2m-1=41-(42-43）-L-(2m-2-42m-1) S2m=(41-2)+(43-u4)+L+(42m-1-42m): 由条件（①，业迷雨式中各个据号内的数都是非负的， 从而数列{S2m}是递减的，而数列{S2m}是递增的. 又由条件()知道 0<S2m-1-S2m=42m®0(m®￥)， 从而{[S2mS2ml}是一个区间套.由区间套定理，存
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存
在惟一的实数S,使得 lim S2m=lim S2m=S. m®￥ m®￥ 所以数列{S}收敛，即级数(1)收敛 推纶若级数()满足莱布尼茨判别法的条件，则收做 级散()的余项估外式为 Rn￡un1 前页
前页 后页 返回 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 在惟一的实数 S, 使得
例1判别级数 解：Q a vr c -(1+x) x1。 <0(x32) 2Vx(x-1)2 故函数 单调递减\un>u,+1, n 又li4,=li =0. 原级数收敛， n®￥ ®￥n-1 前页
前页 后页 返回 解: 原级数收敛