§1级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具.级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用
对于有限个实数uvu2,un相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果，那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子.如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万 世不竭”的例中，将每天截下那一部分的长度“加” 起来是： 11 ,1 2+2 前页 后页 返回
前页 后页 返回 对于有限个实数 u1,u2,.,un 相加后还是一个实数， 这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是: + + + + + 2 3 1 1 1 1 , 2 2 2 2n
由于前”项相加的和是1- 可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 1+(-1)+1+(-1)+. 中，如果将其写作 (1-1)+(1-1)+(1-1)+.=0+0+0+., 结果肯定是0，而写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1山+.=1+0+0+0+.， 前页 返
前页 后页 返回 由于前 n 项相加的和是 1 1 2 n − ，可以推测这“无限 个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数 相加”的表达式 1 ( 1) 1 ( 1) + − + + − + 中，如果将其写作 (1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 , − + − + − + = + + + 结果肯定是0，而写作 1 [( 1) 1] [( 1) 1] 1 0 0 0 , + − + + − + + = + + + +
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题：“无限个数相加”是否存在“和”；如果存在， “和”等于什么？由此可见，“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比，需要建立新 的理论 定义1给定一个数列{u,将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 儿1+W2+.+Wn+ (1) 前页 返回
前页 后页 返回 则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可见, “无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论. 定义1 给定一个数列{un }, 将其各项依次用“+”号 连接起来的表达式 1 2 + + + + (1) u u un
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中m 称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也 常记为∑4，.在不致误解时可简记为∑， n=1 数项级数(1)的前n项之和记为 S=2=4+,++4 (2) 称为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和. 定义2若数项级数(1)的部分和数列{S,n}收敛于S 前页 返回
前页 后页 返回 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 = 1 n n u . 常记为 . 在不致误解时可简记为 un 数项级数(1)的前n项之和记为 = = = + + + 1 2 1 , (2) n n k n k S u u u u 称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和. 定义2 若数项级数(1)的部分和数列 { } Sn 收敛于 S