§2函数的幂级数展开 由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和，如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供 了一种新的方法. 一、泰勒级数 二、初等函数的幂级数展开式 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数
一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出，若函数在点x 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则 =x+f0x-+fx-xP+ 21 ((x+R(x) () n! 这里为R(x)拉格朗日型余项 &n-得w (2) 前页
前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 = + − + − + 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 这里为 ( ) R x n 拉格朗日型余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , (2) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + + − + ( ) 0 0 ( )( ) ( ), (1) ! n n n f x x x R x n
其中5在x与x之间，称(1)式为f在点x的泰勒公式， 由于余项R（x)是关于(x-x)”的高阶无穷小，因此 在点x,附近∫可用（①）式右边的多项式来近似代替， 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步，设函数f在x=x,处存在任意阶导数，就 可以由函数f得到一个幂级数 )+xx)+x 2 +fx(x-x+., 3) n! 前页 返回
前页 后页 返回 ( ) R x n 0 ( )n 由于余项 是关于 x x − 的高阶无穷小, 因此 在点 0 x 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 0 x x = 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x x x x x + − + − + ( ) 0 0 ( )( ) , (3) ! n n f x x x n + − + 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 0 x 的泰勒公式
通常称(3)式为f在x=x处的泰勒级数.对于级数 (3)是否能在点x附近确切地表达f,或者说级数3) 在点x,附近的和函数是否就是f本身，这就是本节 所要着重讨论的问题.请先看一个例子 例1由于函数 f(x)= ,x≠0， 0, x=0 在x=0处的任意阶导数都等于0（见第六章§4第 二段末尾)，即 前页 返
前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 0 x x = 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 0 x 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 0 在点 x 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 2 1 e , 0, ( ) 0, 0 x x f x x − = = 在 x = 0 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即
fm(0)=0,n=1,2,., 因此f在x=0的泰勒级数为 0+0+2+.+0+ 2:1 n! 显然它在(-o,+o)上收敛，且其和函数S(x)=0.由 此看到，对一切x≠0都有f(x)≠S(x). 上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？ 前页
前页 后页 返回 ( )(0) 0 , 1,2, , n f n = = 因此 f 在 x = 0 的泰勒级数为 0 0 2 0 0 . 2! ! n x x x n + + + + + 显然它在 ( , ) − + 上收敛, 且其和函数 S x( ) 0 = . 由 此看到, 对一切 x 0 都有 f x S x ( ) ( ) . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?