§3瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质与收敛判别，与无穷积 分的性质与收敛判别相类似.因此本节 内容大都是罗列出一些基本结论，并举 例加以应用，而不再进行重复论证. 前
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定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则） 瑕积分òf(x)dxr(瑕点为a)收敛的充要条件是 任给e>0,存在d>0,当4,42i(a,a+d)时 dxdsds <e. 证设F(w=Ofx)dc,ui(a,b),则Of(x)de 收敛的充要条件是imF(u)存在.由函数收敛的 柯西准则，此等价于"e>0,$d>0, "4,2i(a,a+d)F(u)-F(u2)e, 前顶
前页 后页 返回 定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则） 证 柯西准则，此等价于
即 dx-)dxf()de. 性质1设函数f与f的瑕点同为x=a,k1,k, 为任意常数，若Of(x)dr和Of(v)dr都收敛，则 0(k1f(x)+k2f()dr也收敛，且 (ki(x)+k(x))dx k)dx+k()dx. 性质2设函数f的瑕点x=a,若ci(a,b),则 Of(x)dr与Of(x)dx同时收敛或同时发散，且
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()dx-fdxf()dx. 性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b的任一 闭区间[u,b](u>a)上可积，则òf(r)dr收敛时， 0fw)ir也收敛，且6 fd6de。 定理11.8非负函数瑕积分的判别法) 若定义在(a,b]上的非负函数f(x),在任意闭区间 [u,b1(u>a)上可积，则Of(c)dr收敛的充要条件
前页 后页 返回 性质3 定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法)
是：存在M,对任意ui(a,b, f()d<M. 定理11.9（比较法则） 设定义在(a,b小上的两个非负函数f与8，瑕点同 为x=a,在任何[u,bi(a,b上都可积，且满足 f(x)fg(x),xI (a,bl. 则当0g(c)dx收敛时，òf(x)dr必定收敛； 0f(x)dr发散时，0g()dx必定发散， 前
前页 后页 返回 定理11.9 (比较法则)